Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng
$a^{3} + b^{3} + c^{3} + 6abc \geq 9$
Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng
$a^{3} + b^{3} + c^{3} + 6abc \geq 9$
Ta có : P= $a^{3} + b^{3} + c^{3} + 6abc$ => 2P = $2(a^{3} + b^{3} + c^{3}) + 12abc$
Mà : $a^{3} + a^{3} + 4 \geq 6a^{2}$
Tương tự với b,c cộng lại ta được : $2P \geq 6(a^{2} + b^{2} + c^{2} + 12abc-12$
Ta có bđt : $a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2abc \geq 2 ( ab + bc +ca )$ ( schur )
=> $2P \geq 6(a^{2} + b^{2} + c^{2} + 12abc-12 \geq 12( ab +bc +ca )-12=18$
=> đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi iloveyouproht: 07-11-2016 - 00:19
Trước khi muốn bỏ cuộc, hãy nhớ lý do vì sao bạn bắt đầu…
________________________________________________
Kẻ thất bại luôn nhìn thấy khó khăn trong từng cơ hội...
Người thành công luôn nhìn thấy cơ hội trong từng khó khăn...
-----------------------
My facebook : https://www.facebook...100021740291096
Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng
$a^{3} + b^{3} + c^{3} + 6abc \geq 9$
Áp dụng bất đẳng thức schur ta có:
\[a\left( {a - b} \right)\left( {a - b} \right) + b\left( {b - c} \right)\left( {b - c} \right) + c\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right) \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3abc \ge ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a)\]
\[ \Rightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} + 6abc \ge \left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) \ge \sqrt {3\left( {ab + bc + ca} \right)} .\left( {ab + bc + ca} \right) = 9\]
Dấu đẳng thức xảy ra khi : a=b=c=1
Áp dụng bất đẳng thức schur ta có:
\[a\left( {a - b} \right)\left( {a - b} \right) + b\left( {b - c} \right)\left( {b - c} \right) + c\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right) \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3abc \ge ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a)\]
\[ \Rightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} + 6abc \ge \left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) \ge \sqrt {3\left( {ab + bc + ca} \right)} .\left( {ab + bc + ca} \right) = 9\]
Dấu đẳng thức xảy ra khi : a=b=c=1
Sao $(a+b+c)(ab+bc+ca) \geqslant \sqrt{3(ab+bc+ca)}.(ab+bc+ca)$ vậy?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kagome: 07-11-2016 - 18:57
Sao $(a+b+c)(ab+bc+ca) \geqslant \sqrt{3(ab+bc+ca).(ab+bc+ca)$ vậy?
phân tích thành nhân tử đó bạn
phân tích thành nhân tử đó bạn
Bạn ghi rõ được ko?
Khi cộng 3abc vào 2 vế:
\[ab\left( {a + b} \right) + bc\left( {b + c} \right) + ca\left( {c + a} \right) + 3abc = \left[ {ab\left( {a + b} \right) + abc} \right] + \left[ {bc\left( {b + c} \right) + abc} \right] + \left[ {ca\left( {c + a} \right) + abc} \right] = ab\left( {a + b + c} \right) + bc\left( {a + b + c} \right) + ca\left( {a + b + c} \right) = \left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right)\]
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr Cooper: 07-11-2016 - 19:05
Khi cộng 3abc vào 2 vế:
\[ab\left( {a + b} \right) + bc\left( {b + c} \right) + ca\left( {c + a} \right) + 3abc = \left[ {ab\left( {a + b} \right) + abc} \right] + \left[ {bc\left( {b + c} \right) + abc} \right] + \left[ {ca\left( {c + a} \right) + abc} \right] = ab\left( {a + b + c} \right) + bc\left( {a + b + c} \right) + ca\left( {a + b + c} \right) = \left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right)\]
Mình ko hỏi chỗ đó. Mình hỏi là sao $(a+b+c)(ab+bc+ca)\geqslant \sqrt{3(ab+bc+ca)}.(ab+bc+ca)$
Mình ko hỏi chỗ đó. Mình hỏi là sao $(a+b+c)(ab+bc+ca)\geqslant \sqrt{3(ab+bc+ca)}.(ab+bc+ca)$
theo mình thì có thể chứng minh a+b+c>=3 bằng cách
a3+b3+c3-3abc
=(a+b)3 - 3ab(a+b) + c3-3abc
=(a+b+c)3-3(a+b)c(a+b+c)-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)3-3(a+b+c)(ab+bc+ca)
=(a+b+c)3-9(a+b+c)
=(a+b+c)[(a+b+c)2-9]
Mặt khác:
a3+b3+c3-3abc >= 0 (bất đẳng thức cô si)
mà a+b+c >= 0 (a,b,c không âm)
nên (a+b+c)2-9 >= 0 => đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NgocTruongNguyen: 07-11-2016 - 23:08
Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng
$a^{3} + b^{3} + c^{3} + 6abc \geq 9$
Lời giải.
Đặt $a+b+c=p;ab+bc+ca=q;abc=r$ thì $q=3$ và ta cần chứng minh: $p^3-3pq+3r+6r\geqslant 9\Leftrightarrow p^3-9p+9r\geqslant 9$
Theo Schur, ta có: $9r\geqslant 4pq-p^3=12p-p^3$
Nên ta cần chứng minh: $p^3-9p+12p-p^3\geqslant 9\Leftrightarrow p\geqslant 3$
Bất đẳng thức cuối luôn đúng nên ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh