Chủ đề này có 10 trả lời

[linhphammai]

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca   = 3. Chứng minh rằng

$a^{3} + b^{3} + c^{3} + 6abc \geq 9$

[iloveyouproht]

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca   = 3. Chứng minh rằng

$a^{3} + b^{3} + c^{3} + 6abc \geq 9$

Ta có : P= $a^{3} + b^{3} + c^{3} + 6abc$ => 2P =  $2(a^{3} + b^{3} + c^{3}) + 12abc$

Mà : $a^{3} + a^{3} + 4 \geq 6a^{2}$

Tương tự với b,c cộng lại ta được : $2P \geq  6(a^{2} + b^{2} + c^{2} + 12abc-12$ 

Ta có bđt : $a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2abc \geq 2 ( ab + bc +ca )$ ( schur ) 

=> $2P \geq  6(a^{2} + b^{2} + c^{2} + 12abc-12 \geq 12( ab +bc +ca )-12=18$

=> đpcm 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi iloveyouproht: 07-11-2016 - 00:19

[Mr Cooper]

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca   = 3. Chứng minh rằng

$a^{3} + b^{3} + c^{3} + 6abc \geq 9$

Áp dụng bất đẳng thức schur ta có:

\[a\left( {a - b} \right)\left( {a - b} \right) + b\left( {b - c} \right)\left( {b - c} \right) + c\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right) \ge 0\]

\[ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3abc \ge ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a)\]

\[ \Rightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} + 6abc \ge \left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) \ge \sqrt {3\left( {ab + bc + ca} \right)} .\left( {ab + bc + ca} \right) = 9\]

Dấu đẳng thức xảy ra khi : a=b=c=1

[Kagome]

Áp dụng bất đẳng thức schur ta có:

\[a\left( {a - b} \right)\left( {a - b} \right) + b\left( {b - c} \right)\left( {b - c} \right) + c\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right) \ge 0\]

\[ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3abc \ge ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a)\]

\[ \Rightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} + 6abc \ge \left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) \ge \sqrt {3\left( {ab + bc + ca} \right)} .\left( {ab + bc + ca} \right) = 9\]

Dấu đẳng thức xảy ra khi : a=b=c=1

Sao $(a+b+c)(ab+bc+ca) \geqslant \sqrt{3(ab+bc+ca)}.(ab+bc+ca)$ vậy?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kagome: 07-11-2016 - 18:57

[Mr Cooper]

Sao $(a+b+c)(ab+bc+ca) \geqslant \sqrt{3(ab+bc+ca).(ab+bc+ca)$ vậy?

phân tích thành nhân tử đó bạn

[Kagome]

phân tích thành nhân tử đó bạn

Bạn ghi rõ được ko?

[Mr Cooper]

Khi cộng 3abc vào 2 vế:

 

\[ab\left( {a + b} \right) + bc\left( {b + c} \right) + ca\left( {c + a} \right) + 3abc = \left[ {ab\left( {a + b} \right) + abc} \right] + \left[ {bc\left( {b + c} \right) + abc} \right] + \left[ {ca\left( {c + a} \right) + abc} \right] = ab\left( {a + b + c} \right) + bc\left( {a + b + c} \right) + ca\left( {a + b + c} \right) = \left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right)\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr Cooper: 07-11-2016 - 19:05

[Kagome]

Khi cộng 3abc vào 2 vế:

 

\[ab\left( {a + b} \right) + bc\left( {b + c} \right) + ca\left( {c + a} \right) + 3abc = \left[ {ab\left( {a + b} \right) + abc} \right] + \left[ {bc\left( {b + c} \right) + abc} \right] + \left[ {ca\left( {c + a} \right) + abc} \right] = ab\left( {a + b + c} \right) + bc\left( {a + b + c} \right) + ca\left( {a + b + c} \right) = \left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right)\]

Mình ko hỏi chỗ đó. Mình hỏi là sao $(a+b+c)(ab+bc+ca)\geqslant \sqrt{3(ab+bc+ca)}.(ab+bc+ca)$

[NgocTruongNguyen]

Mình ko hỏi chỗ đó. Mình hỏi là sao $(a+b+c)(ab+bc+ca)\geqslant \sqrt{3(ab+bc+ca)}.(ab+bc+ca)$

theo mình thì có thể chứng minh a+b+c>=3 bằng cách

a³+b³+c³-3abc

=(a+b)³ - 3ab(a+b) + c^3-3abc

=(a+b+c)³-3(a+b)c(a+b+c)-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)³-3(a+b+c)(ab+bc+ca)

=(a+b+c)³-9(a+b+c)

=(a+b+c)[(a+b+c)²-9]

Mặt khác:

a³+b³+c³-3abc >= 0 (bất đẳng thức cô si)

mà a+b+c >= 0 (a,b,c không âm)

nên (a+b+c)²-9 >= 0 => đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NgocTruongNguyen: 07-11-2016 - 23:08

[loolo]

Mình ko hỏi chỗ đó. Mình hỏi là sao $(a+b+c)(ab+bc+ca)\geqslant \sqrt{3(ab+bc+ca)}.(ab+bc+ca)$

$(a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ac)\Rightarrow a+b+c\geq \sqrt{3(ab+bc+ac)}$

[KietLW9]

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca   = 3. Chứng minh rằng

$a^{3} + b^{3} + c^{3} + 6abc \geq 9$

Lời giải.

Đặt $a+b+c=p;ab+bc+ca=q;abc=r$ thì $q=3$ và ta cần chứng minh: $p^3-3pq+3r+6r\geqslant 9\Leftrightarrow p^3-9p+9r\geqslant 9$

Theo Schur, ta có: $9r\geqslant 4pq-p^3=12p-p^3$

Nên ta cần chứng minh: $p^3-9p+12p-p^3\geqslant 9\Leftrightarrow p\geqslant 3$

Bất đẳng thức cuối luôn đúng nên ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$