Chủ đề này có 1 trả lời

[The Flash]

Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$. Chứng minh rằng

$\frac{\left ( 3a-1 \right )^2}{2a^2+1}+\frac{\left ( 3b-1 \right )^2}{2b^2+1}+\frac{\left ( 3c-1 \right )^2}{2c^2+1}\geq 4$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngoc Hung: 15-11-2016 - 04:47

[KietLW9]

Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức, ta được: 

$\frac{(3a-1)^2}{2a^2+1} + \frac{(3b-1)^2}{2b^2+1} + \frac{(3c-1)^2}{2c^2+1}\geqslant \frac{9(a+b+c-1)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+3}$

Ta cần chứng minh:

$9(a+b+c-1)^2\geqslant 8(a^2+b^2+c^2)+12$

$\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)+18(ab+bc+ca-a-b-c)-3\geqslant 0$

Mà $abc=1$ nên $(1-a)(1-b)(1-c)=1-(a+b+c)+(ab+bc+ca)-abc=ab+bc+ca-a-b-c$

Do vậy ta cần chỉ ra rằng:

$(a^2+b^2+c^2)+18(1-a)(1-b)(1-c)-3\geqslant 0$

Giả sử $c=max\left \{ a,b,c \right \}$ thì $c\geqslant 1$. Đặt $\sqrt{ab}=t(0<t\leqslant 1)$ thì $c=\frac{1}{t^2}$ và $a^2+b^2\geqslant 2ab=2t^2$

Lúc đó ta cũng có: 

$(1-a)(1-b)=1-(a+b)+ab\leqslant 1-2\sqrt{ab}+ab=1-2t+t^2=(t-1)^2\Rightarrow (1-a)(1-b)(1-c)\geqslant (t-1)^2(1-c)$

Như vậy ta cần chứng minh: 

$2t^2+c^2+18(t-1)^2(1-c)-3\geqslant 0$

hay

$(2t^2+\frac{1}{t^4}-3)+18(t-1)^2(1-\frac{1}{t^2})\geqslant 0$

$\Leftrightarrow \frac{(t-1)^2(t+1)(2t-1)^2(5t+1)}{t^4}\geqslant 0$ (đúng)

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$ hoặc $a=b=\frac{1}{2};c=4$ và các hoán vị