Cho các số $a,b,c$ dương thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. Chứng minh
$\frac{1}{3+2\left ( a^2-bc \right )}+\frac{1}{3+2\left ( b^2-ca \right )}+\frac{1}{3+2\left ( c^2-ab \right )}\geq 1$
CMR: $\sum \frac{1}{3+2\left ( a^2-bc \right )}\geq 1$
Bắt đầu bởi The Flash, 14-11-2016 - 06:01
#2
Đã gửi 16-12-2021 - 21:05
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Đặt $(ab,bc,ca)\rightarrow (x,y,z)\Rightarrow (a^2,b^2,c^2)\rightarrow (\frac{zx}{y},\frac{xy}{z},\frac{yz}{x})$ và $x+y+z=1$
Lúc đó: $VT=\frac{1}{3+2(\frac{zx}{y}-y)}+\frac{1}{3+2(\frac{xy}{z}-z)}+\frac{1}{3+2(\frac{yz}{x}-x)}=\frac{y^2}{3y^2+2xyz-2y^3}+\frac{z^2}{3z^2+2xyz-2x^3}+\frac{x^2}{3x^2+2xyz-2z^3}\geqslant \frac{(x+y+z)^2}{3(x^2+y^2+z^2)-2(x^3+y^3+z^3-3xyz)}=\frac{(x+y+z)^2}{3(x^2+y^2+z^2)-2(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)}=\frac{(x+y+z)^2}{3(x^2+y^2+z^2)-2(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)}=1$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$
- Hoang72 yêu thích
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
