Chủ đề này có 1 trả lời

[The Flash]

Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$. Chứng minh rằng

$\frac{\left ( 3a-1 \right )^2}{2a^2+1}+\frac{\left ( 3b-1 \right )^2}{2b^2+1}+\frac{\left ( 3c-1 \right )^2}{2c^2+1}\geq 4$

[KietLW9]

Vì $abc=1$ nên $(1-a)(1-b)(1-c)=(ab+bc+ca)-(a+b+c)$

Ta cần chứng minh: $\frac{9(a+b+c-1)^2}{2a^2+2b^2+2c^2+3}\geqslant 4\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+18(1-a)(1-b)(1-c)\geqslant 3$

Giả sử $c=max\left \{ a,b,c \right \}\Rightarrow c\geqslant 1\Rightarrow 1-c\leqslant 0$

Đặt $\sqrt{ab}=t\Rightarrow c=\frac{1}{t^2}$

Áp dụng AM-GM, ta được: $a^2+b^2+c^2+18(1-a)(1-b)(1-c)\geqslant 2ab+c^2+18(1-2\sqrt{ab}+ab)(1-c)=2t^2+\frac{1}{t^4}+18(1-t)^2(1-\frac{1}{t^2})$

Cần chứng minh: $2t^2+\frac{1}{t^4}+18(1-t)^2(1-\frac{1}{t^2})\geqslant 3$

$\Leftrightarrow \frac{(5t+1)(2t-1)^2(t-1)^2(t+1)}{t^4}\geqslant 0$ (Đúng)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 16-12-2021 - 22:19