Cách của mình hơi dài với dở,ko biết đúng không, hi vọng có cách khác :
mà hình như đề sai k chạy từ 0 mới đúng
Câu 1: vế trái = $1+C_{2p}^{p}+\sum_{k=1}^{p-1}C_{p}^{k}.(C_{p+k}^{k}-1)-3$
$C_{p+k}^{k}=\frac{(p+1)(p+2)...(p+k)}{k!}\equiv \frac{k!}{k!}\equiv 1(mod\space p)\space \forall k = \overline{1;p-1}$
mà ta có : $ C_{p}^{k} \vdots p \space \forall k = \overline {1;p-1}$
do đó ta chỉ cần chứng minh $C_{2p}^p-2 \vdots p^2$
$C_{2p}^{p}=\frac{2p.(p+p-1).(p+p-2)...(p+1)}{p.(p-1)!}=2.\frac{(p+p-1).(p+p-2)...(p+1)}{(p-1)!}=\\=2\frac{1}{(p-1)!}.[p.\sum_{p-1}^{k=1}\frac{(p-1)!}{k}+(p-1)!+p^2.A]$
vậy ta cần chứng minh $\sum_{p-1}^{k=1}\frac{(p-1)!}{k} \vdots p$
mà vì p là số nguyên tố lẻ nên $\sum_{k=1}^{p-1}\frac{(p-1)!}{k}=\frac{(p-1)!}{k}+\frac{(p-1)!}{p-k}=(p-1)!.\frac{p}{(p-k).k} \vdots p$
suy ra điều phải chứng minh