Chủ đề này có 5 trả lời

[Baoriven]

Giải phương trình nghiệm nguyên dương:

$3^x=2^xy+1$

[I Love MC]

+) $x$ lẻ thì theo LTE $v_2(3^x-1)=v_2(3-1)=1$ suy ra $x=1 \Rightarrow y=1$ 
+) $x$ chẵn thì $v_2(3^x-1)=v_2(3-1)+v_2(3+1)+v_2(x)-1=2+v_2(x) \Rightarrow x+v_2(y)=2+v_2(x)$ 
Đặt $x=2^m.k$ . Ta có đánh giá sau $2^m.k>m+2,m \in \mathbb{Z},m \ge 3$ 
Do đó $x>2+v_2(x)$ (với $v_2(x) \ge 3$ hay $x \ge 8$ ) . Vậy với $x \ge 8$ thì phương trình đã cho vô nghiệm 
$x<8$ và $x$ chẵn thì suy ra $(x,y)=(4,5),(2,2)$ 
Vậy $(x,y)=(1,1),(4,5),(2,2)$ 
P/s : Edited 
Có lẽ em không chú ý 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 21-11-2016 - 20:22

[ngoalong131209]

lte là j v bạn

[yeutoan2001]

Xét x lẻ Theo LTE thì v₂(3^x -1)= v₂(2)=1 $\geq$ x  Suy ra  x=1; y=1

Xét x chẵn Theo LTE thì v₂(3^x -1)=v₂(3-1)+v₂(3+1)+v₂(x)-1 $\geq$ x 

                                Tương đương 2+v₂(x) $\geq$ x

Đặt x=2^a.b với (a,b)=1 ;a,b $\geq$ 1

vậy ta có: 2+v₂(x) $\geq$ x <=> 2+a $\geq$ 2^a.b   Mà 2^a.b $\geq$ (1+1)^a > a+1  hay 2^a.b $\geq$ a+2

    Dấu bằng xảy ra khi b=1; a=2 => x=4 => y=5

Đánh giá trên là BĐT bernoullin nha bạn, không thì chứng minh qui nạp cũng dễ (1+1)^a > a+1 với a $\geq$ 3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoan2001: 20-11-2016 - 22:49

[Baoriven]

Còn một nghiệm $(x;y)=(2;2)$ nữa á Quang. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 21-11-2016 - 19:58

[NTMFlashNo1]

Giải phương trình nghiệm nguyên dương:

$3^x=2^xy+1$

Bài trong đề Romanian IMO TST 2005