Giải phương trình nghiệm nguyên dương:
$3^x=2^xy+1$
Giải phương trình nghiệm nguyên dương:
$3^x=2^xy+1$
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
+) $x$ lẻ thì theo LTE $v_2(3^x-1)=v_2(3-1)=1$ suy ra $x=1 \Rightarrow y=1$
+) $x$ chẵn thì $v_2(3^x-1)=v_2(3-1)+v_2(3+1)+v_2(x)-1=2+v_2(x) \Rightarrow x+v_2(y)=2+v_2(x)$
Đặt $x=2^m.k$ . Ta có đánh giá sau $2^m.k>m+2,m \in \mathbb{Z},m \ge 3$
Do đó $x>2+v_2(x)$ (với $v_2(x) \ge 3$ hay $x \ge 8$ ) . Vậy với $x \ge 8$ thì phương trình đã cho vô nghiệm
$x<8$ và $x$ chẵn thì suy ra $(x,y)=(4,5),(2,2)$
Vậy $(x,y)=(1,1),(4,5),(2,2)$
P/s : Edited
Có lẽ em không chú ý
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 21-11-2016 - 20:22
lte là j v bạn
Xét x lẻ Theo LTE thì v2(3x -1)= v2(2)=1 $\geq$ x Suy ra x=1; y=1
Xét x chẵn Theo LTE thì v2(3x -1)=v2(3-1)+v2(3+1)+v2(x)-1 $\geq$ x
Tương đương 2+v2(x) $\geq$ x
Đặt x=2a.b với (a,b)=1 ;a,b $\geq$ 1
vậy ta có: 2+v2(x) $\geq$ x <=> 2+a $\geq$ 2a.b Mà 2a.b $\geq$ (1+1)a > a+1 hay 2a.b $\geq$ a+2
Dấu bằng xảy ra khi b=1; a=2 => x=4 => y=5
Đánh giá trên là BĐT bernoullin nha bạn, không thì chứng minh qui nạp cũng dễ (1+1)a > a+1 với a $\geq$ 3
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoan2001: 20-11-2016 - 22:49
Còn một nghiệm $(x;y)=(2;2)$ nữa á Quang.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 21-11-2016 - 19:58
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
Giải phương trình nghiệm nguyên dương:
$3^x=2^xy+1$
Bài trong đề Romanian IMO TST 2005
$\boxed{\text{Nguyễn Trực-TT-Kim Bài secondary school}}$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh