1 reply to this topic

[tunglamlqddb]

Chứng minh $\sqrt[n]{2+\sqrt{3}}+\sqrt[n]{2-\sqrt{3}}$ luôn là nghiệm của một đa thức có hệ số nguyên với mọi n nguyên dương 

[dogsteven]

$a=\sqrt[n]{2+\sqrt{3}}$ và $b=\sqrt[n]{2-\sqrt{3}}$. Khi đó $a^n+b^n=4$ và $ab=1$

Lúc này ta có thể viết như sau:

$(a+b)^n=P_1(a^{n-2}+b^{n-2}, a^{n-4}+b^{n-4},...)$

$(a+b)^{n-2} =P_2(a^{n-4}+b^{n-4}, a^{n-8}+b^{n-8},...)$

...

Trong đó các $P_i$ là hàm tuyến tính bậc nhất hệ số nguyên. Từ phương trình dưới cùng ta có thể biểu diễn $a^{n-2k}+b^{n-2k}$ (với $n-2k$ là nhỏ nhất) theo một đa thức hệ số hữu tỉ $a+b$

Từ đó tiếp tục thế lên các phương trình phía trên ta được điều phải chứng minh. Ngoài ra phương án này còn chỉ ra đa thức đó còn có bậc là $n$

Edited by dogsteven, 29-07-2017 - 16:14.