Chủ đề này có 1 trả lời

[Element hero Neos]

Cho hình thang $ABCD, AB//CD, AD<BC$. Gọi $E$ là giao điểm $AC$ và $BD$. $F$ là điểm chính giữa cung $BC$ không chứa $E$ của đường tròn $(BEC)$. $G$ là giao điểm $EF$ và $BC$. $H$ là giao điểm đường tròn $(BFD)$ với tia $DA$. $M,N$ lần lượt là giao điểm của đường tròn $(AHB)$ với $AC$ và $BD$. $P$ là giao điểm của $BM$ và $GH$, $Q$ là giao điểm của $GN$ và $AC$. Chứng minh $D,Q,P$ thẳng hàng.

[Dark Magician 2k2]

Cho hình thang $ABCD, AB//CD, AD<BC$. Gọi $E$ là giao điểm $AC$ và $BD$. $F$ là điểm chính giữa cung $BC$ không chứa $E$ của đường tròn $(BEC)$. $G$ là giao điểm $EF$ và $BC$. $H$ là giao điểm đường tròn $(BFD)$ với tia $DA$. $M,N$ lần lượt là giao điểm của đường tròn $(AHB)$ với $AC$ và $BD$. $P$ là giao điểm của $BM$ và $GH$, $Q$ là giao điểm của $GN$ và $AC$. Chứng minh $D,Q,P$ thẳng hàng.

Ta chứng minh bài toán thông qua 3 bước sau

$1,\bigtriangleup AEG\sim \bigtriangleup FED$

Ta có

$\left\{\begin{matrix} \widehat{CEG}=\widehat{FEB}\\ \widehat{ECG}=\widehat{EFB} \end{matrix}\right.$

Nên 

$\bigtriangleup ECG\sim \bigtriangleup EFB(g.g)$

Suy ra

$EG.EF=EB.EC$

Mà

$AE.ED=BE.EC$ (định lý Thalès)

Suy ra

$EG.EF=EA.ED$

Ta lại có 

$\widehat{AEG}=180^o-\widehat{GEC}=180^o-\widehat{BEG}=\widehat{FED}$ (do $F$ là điểm chính giữa cung $BC$)

Do đó 

$\bigtriangleup AEG\sim \bigtriangleup FED$

Ta cm xong bước $1$.

 

$2,G\in(AHB)$

Ta biến đổi góc như sau:

$\widehat{AHB}+\widehat{AGB}$

$=(180^o-\widehat{DFB})+(\widehat{GAC}+\widehat{BCA})$

$=(180^o-\widehat{DFE}+\widehat{BFE})+(\widehat{DFE}+\widehat{BCA})$

$=180^o$

Suy ra 

$G\in(AHB)$

Ta cm xong bước $2$.

 

$3,\overline{D,Q,P}$

Áp dụng định lý $Pascal$ cho bộ 6 điểm $\binom{A,B,G}{N,H,M}$ được $D,Q,P$ thẳng hàng.

Ta cm xong bước $3$.

Vậy bài toán được chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dark Magician 2k2: 01-12-2016 - 20:48