Chủ đề này có 1 trả lời

[Element hero Neos]

Giả sử a,b,c,d là các số nguyên sao cho a-b+c-d là số nguyên lẻ và là ước của $a^2-b^2+c^2-d^2$. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n ta đều có $a^n-b^n+c^n-d^n$ chia hết cho $a-b+c-d$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Element hero Neos: 02-12-2016 - 19:10

[yeutoan2001]

Giả sử a,b,c,d là các số nguyên sao cho a-b+c-d là số nguyên lẻ và là ước của $a^2-b^2+c^2-d^2$. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n ta đều có $a^n-b^n+c^n-d^n$ chia hết cho $a-b+c-d$.

       Chứng minh bằng qui nạp: Giả sử Đúng tới n ta cần chứng minh đúng tới n+1 có nghĩa ta cần C/m:  $a^{n+1}-b^{n+1}+c^{n+1}-d^{n+1}\vdots a-b+c-d$

        CÓ  $a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}\vdots a-b+c-d => ac-bd\vdots a-b+c-d$

               Có: $(a^{n}+c^{n})-(b^{n}+d^{n})\vdots (a+c)-(b+d) => (a^{n}+c^{n})(a+c)-(b^{n}+d^{n})(b+d)\vdots (a+c)-(b+d)$

               Lại có: $ac(a^{n-1}+c^{n-1})-bd(b^{n-1}+d^{n-1})\vdots (a+c)-(b+d)$

Vì 

                    $$ac-bd\vdots a-b+c-d$ Và   (a^{n-1}+c^{n-1})-(b^{n-1}+d^{n-1})\vdots a-b+c-d$$

Từ đó dễ dàng suy ra  $a^{n+1}-b^{n+1}+c^{n+1}-d^{n+1}\vdots a-b+c-d$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoan2001: 04-12-2016 - 08:24