Chủ đề này có 3 trả lời

[Ngan Chery]

Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}+xyz=4$. Tìm GTLN của P $=x+y+z$

[yeutoan2001]

Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}+xyz=4$. Tìm GTLN của P $=x+y+z$

Cần C/m: $2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}+xyz+xyz+1\geq 2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}+3\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}=2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}+\frac{3xyz}{\sqrt[3]{xyz}}\geq \frac{9xyz}{x+y+z}+2x^{2}+2y^{2}+2z^{2} \geq 2(xy+yz+xz)-x^{2}-y^{2}-z^{2}+2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}=(x+y+z)^{2}$

(Bất đẳng thức $\frac{9xyz}{x+y+z}\geq 2xy+2yz+2xz-x^{2}-y^{2}-z^{2}$ (là bất đẳng thức schur bậc 3 nha)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoan2001: 04-12-2016 - 07:01

[hanguyen445]

Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}+xyz=4$. Tìm GTLN của P $=x+y+z$

Một cách dồn biến tạm:

Hình gửi kèm

• 

[Oreki1101]

Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}+xyz=4$. Tìm GTLN của P $=x+y+z$

Với $x=\frac{2\sqrt{ab}}{(a+c)(b+c)};y=\frac{2\sqrt{ac}}{(a+b)(c+b)};z=\frac{2\sqrt{bc}}{(b+a)(c+a)}$ thì $x^2+y^2+z^2+xyz=4$ thỏa mãn điều kiện đề bài.Do đó có thể đổi biến x,y,z dưới dạng trên

Ta đưa bài toán về tìm GTLN của tổng $P=\frac{2\sqrt{ab}}{(a+c)(b+c)}+\frac{2\sqrt{ac}}{(a+b)(c+b)}+\frac{2\sqrt{bc}}{(b+a)(c+a)}$

AD AM-GM ta có $P\leq \frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+z}+\frac{y}{y+x}+\frac{z}{z+x}+\frac{x}{x+y}+\frac{z}{z+y}=3$

Vậy $Max P=3$ tại $x=y=z =1$