Chủ đề này có 1 trả lời

[ecchi123]

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ . trung tuyến $AM$ , từ $O$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AM$ cắt $BC$ tại $E$ , $AE$ cắt $(O)$ tại $D$ , Chứng minh $AE.AD=BM.BC$

[anhquannbk]

Gọi $ R$ là bán kính $ (O)$.

Ta có: $ AD.AE=AE(AE-ED)=AE^2- EA.ED= AE^2- \mathcal{P}_{E/(O)}= AE^2- OE^2+R^2$

Do $ AM \perp OE$ nên $ AE^2-OA^2=EM^2-OM^2$ suy ra $ AE^2= EM^2-OM^2+R^2$

suy ra $ AD.AE = EM^2-OM^2-OE^2+2R^2 =2R^2-OM^2-(OE^2-EM^2)=2(R^2-OM^2)=2MB^2=BM.BC.$