Chủ đề này có 1 trả lời

[SilentAssassin1998]

Cho $f \in C^3( \mathbb{R} )$. Biết $\lim \limits_{x \to + \infty} f(x) = a \in \mathbb{R}$ và $\lim \limits_{x \to + \infty} f'''(x) = 0$.

Chứng minh rằng $\lim \limits_{x \to + \infty} f'(x) = \lim \limits_{x \to + \infty} f''(x) = 0$.

[An Infinitesimal]

Cho $f \in C^3( \mathbb{R} )$. Biết $\lim \limits_{x \to + \infty} f(x) = a \in \mathbb{R}$ và $\lim \limits_{x \to + \infty} f'''(x) = 0$.

Chứng minh rằng $\lim \limits_{x \to + \infty} f'(x) = \lim \limits_{x \to + \infty} f''(x) = 0$.

Dùng khai triển Taylor, ta có

$$f(x+1)= f(x)+f'(x)+f''(x)/2+f'''(\zeta_1)/6,\quad\quad\quad (1)$$

$$f'(x+1)= f'(x)+f''(x)+f'''(\zeta_2)/2,\quad\quad\quad (2)$$

$$f''(x+1)= f''(x)+f'''(\zeta_3),\quad\quad\quad (3)$$

trong đó $\zeta_1, \zeta_2, \zeta_3\in (x,x+1).$

 

Kết hợp giả thiết và (1), ta có

$$\lim \limits_{x \to + \infty} \left(f'(x)+f''(x)/2\right)=0.\quad\quad\quad (4)$$

 

Sử dụng đẳng thức thu được  từ $(2)+\frac{1}{2} (3)$ cùng (4) và giả thiết, ta có 

$$\lim \limits_{x \to + \infty} f''(x) = 0.$$

 

Kết hợp với (4), ta có

$$\lim \limits_{x \to + \infty} f'(x) = 0.$$