Cho $f \in C^3( \mathbb{R} )$. Biết $\lim \limits_{x \to + \infty} f(x) = a \in \mathbb{R}$ và $\lim \limits_{x \to + \infty} f'''(x) = 0$.
Chứng minh rằng $\lim \limits_{x \to + \infty} f'(x) = \lim \limits_{x \to + \infty} f''(x) = 0$.
Cho $f \in C^3( \mathbb{R} )$. Biết $\lim \limits_{x \to + \infty} f(x) = a \in \mathbb{R}$ và $\lim \limits_{x \to + \infty} f'''(x) = 0$.
Chứng minh rằng $\lim \limits_{x \to + \infty} f'(x) = \lim \limits_{x \to + \infty} f''(x) = 0$.
The 7 wonders
${1729}$
${381654729}$
${142857}$
${2520}$
${12345679}$
?
?
Cho $f \in C^3( \mathbb{R} )$. Biết $\lim \limits_{x \to + \infty} f(x) = a \in \mathbb{R}$ và $\lim \limits_{x \to + \infty} f'''(x) = 0$.
Chứng minh rằng $\lim \limits_{x \to + \infty} f'(x) = \lim \limits_{x \to + \infty} f''(x) = 0$.
Dùng khai triển Taylor, ta có
$$f(x+1)= f(x)+f'(x)+f''(x)/2+f'''(\zeta_1)/6,\quad\quad\quad (1)$$
$$f'(x+1)= f'(x)+f''(x)+f'''(\zeta_2)/2,\quad\quad\quad (2)$$
$$f''(x+1)= f''(x)+f'''(\zeta_3),\quad\quad\quad (3)$$
trong đó $\zeta_1, \zeta_2, \zeta_3\in (x,x+1).$
Kết hợp giả thiết và (1), ta có
$$\lim \limits_{x \to + \infty} \left(f'(x)+f''(x)/2\right)=0.\quad\quad\quad (4)$$
Sử dụng đẳng thức thu được từ $(2)+\frac{1}{2} (3)$ cùng (4) và giả thiết, ta có
$$\lim \limits_{x \to + \infty} f''(x) = 0.$$
Kết hợp với (4), ta có
$$\lim \limits_{x \to + \infty} f'(x) = 0.$$
Đời người là một hành trình...
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh