Chủ đề này có 1 trả lời

[ngocduy286]

Cho $3$ số thực bất kỳ $x, y, z$. Gọi $m$ là giá trị nhỏ nhất trong ba số $(x-y)^2,(y-z)^2,(z-x)^2$.

Chứng minh rằng: $m\leq \frac{1}{2}\left ( x^2+y^2+z^2 \right )$.

[HoangKhanh2002]

Cho $3$ số thực bất kỳ $x, y, z$. Gọi $m$ là giá trị nhỏ nhất trong ba số $(x-y)^2,(y-z)^2,(z-x)^2$.

Chứng minh rằng: $m\leq \frac{1}{2}\left ( x^2+y^2+z^2 \right )$.

Vai trò x, y, z như nhau. Không mất tính tổng quát giả sử $x\geq y\geq z$ m là số nhỏ nhất trong ba số (x - y)²; (y - z)²; (z - x)²

$\sqrt{m}$ là số nhỏ nhất trong 3 số $\left | x-y \right |; \left | y-z \right|; \left | z-x \right |$

Ta có: $\left | z-x \right |=x-z=(x-z)+(y-z)=\left | x-y \right |+\left | y-z \right |\geq2\sqrt{m} \Rightarrow (x-2)^2\geq4m$

Mà $(y-z)^2\geq m, (x-y)^2 \geq m$

$3(x^2+y^2+z^2)\geq (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\geq 6m$

Mà $(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\leq (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2+(x+y+z)^2=3(x^2+y^2+z^2)$

Vậy $m\leq \frac{x^2+y^2+z^2}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangKhanh2002: 08-12-2016 - 20:07