Chủ đề này có 4 trả lời

[nhunghongmnsd]

Cho $a+b+c=3$

CMR $\sum \frac{a^{3}}{b^{2}+c^{2}}\geq \frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 11-12-2016 - 21:47

[phuocchubeo]

$\sum \frac{a^3}{b^2+c^2}=\sum \frac{a^4}{ab^2+ac^2}\geq\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum\limits_{sym} ab^2}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\frac{2}{3}(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)}{2}\geq\frac{(a+b+c)^2}{6}=\frac{3}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

[royal1534]

Cho $a+b+c=3$

CMR $\sum \frac{a^{3}}{b^{2}+c^{2}}\geq \frac{3}{2}$

Mình nghỉ đề phải cho $a,b,c$ dương

 

Một lời giải khác :

Vì bất đẳng thức đã cho đối xứng. Giả sử $a \geq b \geq c$

Ta có $(a^3,b^3,c^3)$ và $(b^2+c^2,c^2+a^2,a^2+b^2)$ là hai bộ đơn điệu ngược chiều. Áp dụng bđt Chevbyshev ta có :

$VT=\sum \frac{a^3}{b^2+c^2} \geq \frac{3}{2}. \frac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}$

Ta cần chứng minh : $a^3+b^3+c^3 \geq a^2+b^2+c^2$

Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz ta có : $(a^3+b^3+c^3)(a+b+c) \geq (a^2+b^2+c^2)^2$

$\Leftrightarrow 3(a^3+b^3+c^3) \geq (a^2+b^2+c^2)^2 \geq \frac{(a+b+c)^2}{3}.(a^2+b^2+c^2)$

$\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3 \geq a^2+b^2+c^2$ (Q.E.D)

BĐT được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 11-12-2016 - 22:51

[nilll gate]

$\sum \frac{a^3}{b^2+c^2}=\sum \frac{a^4}{ab^2+ac^2}\geq\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum\limits_{sym} ab^2}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\frac{2}{3}(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)}{2}\geq\frac{(a+b+c)^2}{6}=\frac{3}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

chỗ này sao lại đc thế này ạ

[tienduc]

chỗ này sao lại đc thế này ạ

Thì $a+b+c=3$ nên ta thay vào rồi rút gọn đi