3 replies to this topic

[Element hero Neos]

Với mỗi số nguyên dương $n$, gọi $S(n)$ là số các cặp sắp thứ tự $(x;y)$ nguyên dương thoả mãn $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n}$. Hãy tìm các số nguyên dương $n$ sao cho $S(n)=5$

[royal1534]

Với mỗi số nguyên dương $n$, gọi $S(n)$ là số các cặp sắp thứ tự $(x;y)$ nguyên dương thoả mãn $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n}$. Hãy tìm các số nguyên dương $n$ sao cho $S(n)=5$

Phương trình đã cho tương đương với :

$$(x-n)(y-n)=n^2$$.

Giả sử $n=p_{1}^{a_{1}}.p_{2}^{a_{2}}...p_{n}^{a_{n}}$.

Thay vào lại phương trình : $$(x-n)(y-n)=p_{1}^{2a_{1}}.p_{2}^{2a_{2}}...p_{n}^{2a_{n}}$$

Nhận xét : Phương trình $ab=n$ có số nghiệm là số ước của $n$.

Mặt khác ta có số ước của $n^2$ được tính bằng : $$(2a_{1}+1)(2a_{2}+1)...(2a_{n}+1)$$

$$\Rightarrow (2a_{1}+1)(2a_{2}+1)...(2a_{n}+1)=5$$

$$\Leftrightarrow a_{1}=2, a_{2}=a_{3}=...=a_{n}=0$$
Vậy thì ta có $n=p^2$ với $p$ là một số nguyên tố thì thỏa mãn điều kiện đề bài. 

Edited by royal1534, 18-12-2016 - 12:36.

[Element hero Neos]

Phương trình đã cho tương đương với :

$$(x-n)(y-n)=n^2$$.

Giả sử $n=p_{1}^{a_{1}}.p_{2}^{a_{2}}...p_{n}^{a_{n}}$.

Thay vào lại phương trình : $$(x-n)(y-n)=p_{1}^{2a_{1}}.p_{2}^{2a_{2}}...p_{n}^{2a_{n}}$$

Nhận xét : Phương trình $ab=n$ có số nghiệm là số ước của $n$.

Mặt khác ta có số ước của $n^2$ được tính bằng : $$(2a_{1}+1)(2a_{2}+1)...(2a_{n}+1)$$

$$\Rightarrow (2a_{1}+1)(2a_{2}+1)...(2a_{n}+1)=5$$

$$\Leftrightarrow a_{1}=2, a_{2}=a_{3}=...=a_{n}=0$$
Vậy thì ta có $n=2$ thỏa mãn điều kiện đề bài. 

Có nhầm không nhỉ?

Nếu $a_{1}=2$ thì suy ra n là số chính phương chứ? 

Edited by Element hero Neos, 18-12-2016 - 08:57.

[royal1534]

Có nhầm không nhỉ?

Nếu $a_{1}=2$ thì suy ra n là số chính phương chứ? 

Nhầm lẫn tí. Đã fix