Cho a,b,c là các số thực dương. CMR ta có BĐT:
$\frac{a^3}{a^2+ab+b^2} +\frac{b^3}{b^2+bc+c^2} +\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{a+b+c}{3}.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangquochung3042002: 22-12-2016 - 19:20
Cho a,b,c là các số thực dương. CMR ta có BĐT:
$\frac{a^3}{a^2+ab+b^2} +\frac{b^3}{b^2+bc+c^2} +\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{a+b+c}{3}.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangquochung3042002: 22-12-2016 - 19:20
Cho a,b,c là các số thực dương. CMR ta có BĐT:
$\frac{a^2}{a^2+ab+b^2} +\frac{b^2}{b^2+bc+c^2} +\frac{c^2}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{a+b+c}{3}.$
BĐT bị ngược dấu rồi bạn ơi
BĐT bị ngược dấu rồi bạn ơi
nếu v bạn giải thử.
Theo mình thì đề bài đúng phải là:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3.CMR:$\sum \frac{a^2}{a^2+ab+b^2}\geq 1$
Đây là lời giải của mình:
Ta sẽ có bổ đề:$\sum \frac{a^2-b^2}{a^2+ab+b^2}\geq 0$
Thật vậy,bổ đề <=>$\sum \frac{(a+b)(a-b)^2}{a^3-b^3}\geq 0$ (Đúng theo tiêu chuẩn 2 định lý S.O.S) (Hiển nhiên dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$ nên ta chỉ xét trường hợp $a-b$;$b-c$;$c-a$ khác 0)
Từ bổ đề=>$\sum \frac{2a^2}{a^2+ab+b^2}\geq \sum \frac{a^2+b^2}{a^2+ab+b^2}=\sum 1-\frac{ab}{a^2+ab+b^2}\geq \sum 1-\frac{ab}{3ab}\geq 2$
=>$\sum \frac{a^2}{a^2+ab+b^2}\geq 1$ (Q.E.D)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hthang0030: 22-12-2016 - 19:57
Theo mình thì đề bài đúng phải là:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3.CMR:$\sum \frac{a^2}{a^2+ab+b^2}\geq 1$
Đây là lời giải của mình:
Ta sẽ có bổ đề:$\sum \frac{a^2-b^2}{a^2+ab+b^2}\geq 0$
Thật vậy,bổ đề <=>$\sum \frac{(a+b)(a-b)^2}{a^3-b^3}\geq 0$ (Đúng theo tiêu chuẩn 2 định lý S.O.S) (Hiển nhiên $a=b=c$ là dấu bằng nên ta không cần quan tâm đến việc $a-b=b-c=c-a=0$
Từ bổ đề=>$\sum \frac{2a^2}{a^2+ab+b^2}\geq \sum \frac{a^2+b^2}{a^2+ab+b^2}=\sum 1-\frac{ab}{a^2+ab+b^2}\geq \sum 1-\frac{ab}{3ab}\geq 2$
=>$\sum \frac{a^2}{a^2+ab+b^2}\geq 1$ (Q.E.D)
đề là mũ 3 mà bạn.à à... vậy là do các bạn nhìn nhầm ở phần tiêu đề á.máy nó sắp nhầm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangquochung3042002: 22-12-2016 - 19:27
Lần sau up bài thì up cho cẩn thận nhé bạn =.=
Lời giải: $\sum \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=\sum a-\frac{a^2b+b^2a}{a^2+ab+b^2}\geq \sum a-\frac{a^2b+b^2a}{3ab}=\sum a-\frac{a+b}{3}=\sum \frac{a}{3}$ (Q.E.D)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hthang0030: 22-12-2016 - 19:38
Vậy tham khảo ở đây: http://diendantoanho...a2geq-fracabc3/
Kết hợp với: $\frac{1}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{1}{2a^2-ab+2b^2}$.
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
cảm ơn nhiều. các bạn khác nếu còn cách giải nào dễ hiểu, ngắn gọn vẫn cứ làm thử nhé. để cho có phần sôi động, mở rộng vấn đề, và thảo luận chung trong diễn đàn .
Ta có $\sum \frac{a^3}{a^2+ab+b^2} = \sum \frac{b^3}{a^2+ab+b^2}$ do $\sum \frac{a^3}{a^2+ab+b^2} - \sum \frac{b^3}{b^2+ab+a^2} = \sum a-b = 0$
Vậy ta cần chứng minh $\sum \frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2} \geq \frac{2(a+b+c)}{3}$
Then BĐT Bunhiakovski ta có $(a^3+b^3)$ $\geq$ $\frac{(a^2+b^2)^2}{a+b}$ $= \frac{\frac{3a^2+3b^2}{3}.\frac{2(a^2+b^2)}{2}}{a+b} \geq \frac{\frac{2(a^2+ab+b^2)}{3}.(a+b)^2}{2(a+b)} = \frac{(a^2+ab+b^2)(a+b)}{3}$
Từ đây ta có $\sum \frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2} \geq \frac{a+b}{3}$. Cộng 3 bất đẳng thức với nhau ta có điều cần chứng minh
Anh sẽ vẫn bên em dù bất cứ nơi đâu
Anh sẽ là hạt bụi bay theo gió
Anh sẽ là ngôi sao trên bầu trời phương Bắc
Anh không bao giờ dừng lại ở một nơi nào
Anh sẽ là ngọn gió thổi qua các ngọn cây
Em sẽ mãi mãi đợi anh chứ ??
will you wait for me forever
cảm ơn các bạn rất nhiều, các bạn đúng thật rất giỏi. các bạn khác nếu có cách giải khác thì vẫn nêu ra để cùng trao đổi kinh nghiệm nhé .
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangquochung3042002: 23-12-2016 - 12:14
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh