Chứng minh rằng, với số tự nhiên $n$ bất kì đều tồn tại hai số nguyên $x, y$ thỏa $x^{2}-34y^{2}+1$ $\vdots$ $n.$
Chứng minh rằng, với số tự nhiên $n$ bất kì đều tồn tại hai số nguyên $x, y$ thỏa $x^{2}-34y^{2}+1$ $\vdots$ $n.$
#1
Đã gửi 22-12-2016 - 20:06
#2
Đã gửi 22-12-2016 - 21:00
Giả sử $n = \prod p_i^{\alpha_i}$ trong đó $p_i$ là các số nguyên tố
Ta chứng minh tồn tại $x,y$ để $p_i^{\alpha_i}$ $|$ $(x^2-34y^2+1)$
Thật vậy ,ta có : $x^2-34y^2+1 = (x-5y)(x+5y) -(3y-1)(3y+1)$
Nếu $p_i \neq 3$,ta chỉ cần chọn $3y \equiv 1 (\text{mod} (p_i^{\alpha_i}))$ và $x \equiv 5y (\text{mod} p_i^{\alpha_i})$ Khi đó ta có $p_i^{\alpha_i}$ $|$ $(x^2-34y^2+1)$
Nếu $p_i = 3$
Ta sẽ chứng minh điều sau bằng quy nạp : Với mọi số tự nhiên $n$, tồn tại cặp số $x,y$ để $x^2-34y^2+1$ $\vdots$ $3^k$
Với $n=1$ điều trên đúng vì ta chỉ cần chọn $x =3, y = 1$
Giả sử đúng với $n = k$, ta chứng minh đúng với $n = k+1$
Giả sử $x_0^2-34y_0^2 +1 = 3^k . m$
Nếu $m$ $\vdots$ $3$ ta có điều cần chứng minh
Nếu $(3,m) = 1$
Dễ thấy $x_0,y_0$ không cùng chia hết cho $3$ nên tồn tại các số tự nhiên $s,t$ để $m+2sx_0-68ty_0$ $\vdots$ $3$
Khi đó, ta chọn $X = x_0+3^ks, Y = y_0+3^k.t$
$\implies X^2-34Y^2+1$ $= (x_0^2-34y_0^2+1)$ $+3^k(2s.x_0-68ty_0)+3^{2k}.s^2+34.3^{2k}t^2 = 3^k(2s.x_0-68ty_0+m)+3^{2k}.s^2+34.3^{2k}t^2$ $\vdots$ $3^{k+1}$
Vậy điều cần chứng minh là đúng
Tức là với mọi $p_i$ nguyên tố, tồn tại $x,y$ để $p_i^{\alpha_i}$ $|$ $(x^2-34y^2+1)$
Giả sử $p_i^{\alpha_i}$ $|$ $(x_i^2-34y_i^2+1)$
Sử dụng định lý thặng dư Trung Hoa chọn $X \equiv x_i (\text{mod} p_i)$ và $Y \equiv y_i (\text{mod} p_i) \forall i$
Khi đó $X^2 - 34Y^2+1$ $\vdots$ $n$. Ta có điều cần chứng minh
- I Love MC, Zz Isaac Newton Zz và Jinbei thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh