Cho $x,y,z$ không âm thỏa mãn: $2(xy+yz+zx)=x^2+y^2+z^2$.
Chứng minh rằng:
$\frac{x+y+z}{3}\geq \sqrt[3]{2xyz}$
Cho $x,y,z$ không âm thỏa mãn: $2(xy+yz+zx)=x^2+y^2+z^2$.
Chứng minh rằng:
$\frac{x+y+z}{3}\geq \sqrt[3]{2xyz}$
Ta có $\left ( x+y+x \right )^{2}\geq 4(xy+yz+zx)$ (*)
Giả sử $x\equiv max \left \{ x,y,z \right \}$
(*) $\Leftrightarrow \left ( x+y \right )^{2}-2z(x+y)+z^{2}-4xy \geq 0$
$\Leftrightarrow \left ( x+y-z-2\sqrt{xy} \right )\left ( x+y-z+2\sqrt{xy} \right )\geq 0\Rightarrow x+y\geq z+2\sqrt{xy}$
$\Rightarrow \frac{x+y+z}{3}\geq \frac{2z+2\sqrt{xy}}{3}\geq \frac{2z+\sqrt{xy}+\sqrt{xy}}{3}\geq \sqrt[3]{2xyz}$
=> ...
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh