Chủ đề này có 136 trả lời

[HoangKhanh2002]

[HoangKhanh2002]

[HoangKhanh2002]

Các bài toán số học

$\boxed{1}$Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^2-2x=27y^3$

$\boxed{2}$ Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x; y) thoả mãn: $(x+y)^3=(x-y-6)^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangKhanh2002: 24-02-2017 - 23:01

[Ngoc Hung]

$\boxed{1}$Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^2-2x=27y^3$

 

 

$(x-1)^{2}=(3y+1)(9y^{2}-3y+1)$

Gọi $\left ( 3y+1;9y^{2}-3y+1 \right )=d\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (3y+1)\vdots d & \\ (9y^{2}-3y+1)\vdots d & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (3y+1)\vdots d & \\ (3y+1)^{2}-9y \vdots d& \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (9y+3)\vdots d & \\ 9y\vdots d & \end{matrix}\right.\Rightarrow d=1$ 

Do đó 3y + 1 = 1 giải tiếp

[Baoriven]

$\boxed{3}$. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

$2^x+3^y=z^2$

[Ngoc Hung]

$\boxed{3}$. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

$2^x+3^y=z^2$

 

Vì $z^{2}$ là số chính phương nên chia cho 3 dư 0 hoặc 1. Do đó $z^{2}-3^{y}=2^{x}$ chia cho 3 dư 0 hoặc 1

- Xét x lẻ suy ra $2^{x}$ chia cho 3 dư 2 (loại)

- Xét x chẵn . Đặt x = 2k.

Khi đó ta có $z^{2}-2^{2k}=3^{y}\Rightarrow \left ( z-2^{k} \right )\left ( z+2^{k} \right )=3^{a}.3^{b}$

Trong đó a, b là các số tự nhiên thỏa mãn a + b = y và $a\geq b$.

Do đó $\left\{\begin{matrix} z+2^{k}=3^{a} & \\ z-2^{k}=3^{b} & \end{matrix}\right.\Rightarrow 2.2^{k}=3^{a}-3^{b}\Rightarrow 2^{k+1}=3^{b}\left ( 3^{a-b}-1 \right )\Rightarrow 2^{k+1}\vdots 3^{b}$, vô lí.

Vậy b = 0. Khi đó ta có $2^{k+1}+1=3^{y}$

- Xét $y\leq 0$ không thỏa mãn

- Xét y = 1 suy ra k = 0. Ta có (x; y; z) = (0; 1; 2) thỏa mãn

- Xét $y\geq 2$ khi đó.  Nếu $k+1\geq 6$ thì $2^{k+1}+1=64.2^{n}+1$ không chia hết cho 9, mà $3^{y}$ chia hết cho 9

Vậy $0\leq k+1\leq 5$. Lần lượt thay k + 1 = 0, 1, 2, 3, 4, 5 ta có k = 2 thỏa mãn. Suy ra (x; y; z) = (4; 2; 5) thỏa mãn 

 

- 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngoc Hung: 01-03-2017 - 06:48

[HoangKhanh2002]

Vì $z^{2}$ là số chính phương nên chia cho 3 dư 0 hoặc 1. Do đó $z^{2}-3^{y}=2^{x}$ chia cho 3 dư 0 hoặc 1

- Xét x lẻ suy ra $2^{x}$ chia cho 3 dư 2 (loại)

- Xét x chẵn . Đặt x = 2k.

Khi đó ta có $z^{2}-2^{2k}=3^{y}\Rightarrow \left ( z-2^{k} \right )\left ( z+2^{k} \right )=3^{a}.3^{b}$

Trong đó a, b là các số tự nhiên thỏa mãn a + b = y và $a\geq b$.

Do đó $\left\{\begin{matrix} z+2^{k}=3^{a} & \\ z-2^{k}=3^{b} & \end{matrix}\right.\Rightarrow 2.2^{k}=3^{a}-3^{b}\Rightarrow 2^{k+1}=3^{b}\left ( 3^{a-b}-1 \right )\Rightarrow 2^{k+1}\vdots 3^{b}$, vô lí.

Vậy b = 0. Khi đó ta có $2^{k+1}+1=3^{y}$

- Xét $y\leq 0$ không thỏa mãn

- Xét y = 1 suy ra k = 0. Ta có (x; y; z) = (0; 1; 2) thỏa mãn

- Xét $y\geq 2$ khi đó.  Nếu $k+1\geq 6$ thì $2^{k+1}+1=64.2^{n}+1$ không chia hết cho 9, mà $3^{y}$ chia hết cho 9

Vậy $0\leq k+1\leq 5$. Lần lượt thay k + 1 = 0, 1, 2, 3, 4, 5 ta có k = 2 thỏa mãn. Suy ra (x; y; z) = (4; 2; 5) thỏa mãn 

 

- 

Thiếu nghiệm rồi thầy ơi (x; y; z) = (3; 0; 3)

[Ngoc Hung]

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn abc = 3b + 6c. Chứng minh rằng 

$\frac{3}{b+c-a}+\frac{4}{c+a-b}+\frac{5}{a+b-c}\geq 4$

[NHoang1608]

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn abc = 3b + 6c. Chứng minh rằng 

$\frac{3}{b+c-a}+\frac{4}{c+a-b}+\frac{5}{a+b-c}\geq 4$

Từ GT ta có $a=\frac{3}{c}+\frac{6}{b}$

             hay $\frac{a}{3}=\frac{1}{c}+\frac{2}{b}$ $(1)$

BDT $\Leftrightarrow \frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}+\frac{2}{a+b-c}+\frac{2}{b+c-a}+\frac{3}{c+a-b}+\frac{3}{a+b-c} \geq 4$ (*)

Mặt khác VT(*)  $\geq \frac{2}{c}+\frac{4}{b}+\frac{6}{a}=\frac{2a}{3}+\frac{6}{a}$ [theo $(1)$ và bđt Cauchy-Schwarz]

Ap dụng BĐT AM-GM ta có : $\frac{2a}{3}+\frac{6}{a}\geq 4$

Suy ra đpcm. DBXR khi $a=b=c=3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 01-03-2017 - 13:13

[HoangKhanh2002]

$\boxed{5}$. Cho $P(x)=x^3-3x^2+14x-2$. Tìm các số tự nhiên x nhỏ hơn 100 mà P(x) chia hết cho 11

---Trích đề thi HSG Toán 9 tỉnh Phú Thọ 2013 - 2014---

PS: Thầy NgocHung: Thầy ơi mình đang làm các bài toán về số học mà. Rất mong thầy đóng góp nhưng em nghĩ mình nên theo từng dạng, từng phần không nên làm thế này. Nó lộn xộn mà hiệu quả ôn thi thấp ạ! Với lại thầy không đánh số cho bài nên không có trật tự cho các bài viết. Mong thầy sửa ạ!!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangKhanh2002: 01-03-2017 - 13:52

[HoangKhanh2002]

 

Các bài toán số học

$\boxed{1}$Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^2-2x=27y^3$

$\boxed{2}$ Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x; y) thoả mãn: $(x+y)^3=(x-y-6)^2$

 

Lời giải cho bài $\boxed{2}$:

Từ giả thiết $\Rightarrow \left | x-y-6 \right |=(x+y)\sqrt{x+y}> x+y (do x,y\geq 1)$. Xét các trường hợp:

- Nếu $x\geq y+6\Rightarrow \left | x-y-6 \right |=x-y-6> x+y\Leftrightarrow -2y-6>0$. Mà y > 0 $\Rightarrow$ vô lí

- Nếu $x< y+6\Rightarrow \left | x-y-6 \right |=y+6-x>x+y\Leftrightarrow 6-2x>0\Leftrightarrow x<3$

Mà x nguyên dương $\Rightarrow$ $x\in \left \{ 1;2 \right \}$

- Với x = 1 thay vào phương trình đã cho $\Rightarrow$ y = 3

- Với x = 2 thay vào phương trình đã cho $\Rightarrow$ $y\notin N*$

Vậy x = 1; y = 3

PS: Đang nghiên cứu giải lại bài 3 vì bài 3 của thầy NgocHung thiếu nghiệm

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangKhanh2002: 02-03-2017 - 12:22

[Baoriven]

Bổ sung thêm lời giải của thầy NgocHung.

Do thầy thiếu trường hợp VP chia hết cho $3$.

Nhờ đó ta suy ra ngay $x=0$ và việc giải ra nghiệm $(3;0;3)$ là đơn giản.

[viet9a14124869]

Bài 5 ...

Ta có $p(x)=(x-2)(x^2-x+1)+11x$

Dễ thấy rằng $x^2-x+1$ không chia hết cho 11 với mọi x  ( bằng cách xét số dư của x khi chia cho 11 )

Do đó x-2 chia hết cho 11

Vậy $x\in \left \{ 2,13,24,35,46,57,68,79,90 \right \}$

 

 

^-^-^-^ .......topic rất hay và bổ ích .......^-^-^-^

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet9a14124869: 02-03-2017 - 12:23

[HoangKhanh2002]

Bài 5

Ta có $p(x)=(x-2)(x^2-x+1)+11x$

Dễ thấy rằng $x^2-x+1$ không chia hết cho 11 với mọi x

Do đó x-2 chia hết cho 11

Vậy $x\in \left \{ 2,13,24,35,46,57,68,79,90 \right \}$

Bạn phải chứng minh rằng $x^2-x+1$ không chia hết cho 11 với mọi x. Nếu chưa CM nó chưa chặt chẽ

[HoangKhanh2002]

$\boxed{6}$ Cho đa thức P(x) với hệ số nguyên thoả mãn: $P(2012)=P(2013)=P(2014)=2013$. Chứng minh rằng đa thức $P(x)-2014$ không có nghiệm nguyên

[viet9a14124869]

$\boxed{6}$ Cho đa thức P(x) với hệ số nguyên thoả mãn: $P(2012)=P(2013)=P(2014)=2013$. Chứng minh rằng đa thức $P(x)-2014$ không có nghiệm nguyên

Bài 6 : Giả sử đa thức P(x) -2014 có nghiệm nguyên a 

Ta nhận thấy P(x)=(x-2012)(x-2013)(x-2014).Q(x) +2013 

Do P(a)-2014=0 nên (a-2012)(a-2013)(a-2014).Q(a)+2013-2014=0 hay (a-2012)(a-2013)(a-2014).Q(x)  =1 

Mặt khác ,,,,VT là số chẵn ,,,,,VP là số lẻ nên vô lí 

Vậy đa thức P(x)-2014 không có nghiệm nguyên (đpcm) ..........^-^

[HoangKhanh2002]

Lời giải khác cho bài 5

[IMO20xx]

Mình xin đóng góp một bài cho topic.

$\boxed{7}$ (Olympic Anh 2005) Cho N là số nguyên dương. Có đúng 2005 cặp (x, y) các số nguyên dương sao cho:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{N}.$$

Chứng minh rằng N là số chính phương.

Chú ý: Nếu a khác b thì cặp (a, b) khác (b, a).

[IMO20xx]

Để topic được tiếp tục thì mình xin đăng lên lời giải của bài toán 7 và đề nghị một bài toán mới.

Ở đây kí hiệu $d(N)$ thay cho số ước số tự nhiên của N.

Sau đây là bài toán mới.

$\boxed{8}$. (USA(J)MO 2015) Tìm các số nguyên $x,y$ sao cho $x^2+xy+y^2=\left( \frac{x+y}{3}+1\right) ^{3}$.

 

[HoangKhanh2002]

$\boxed{9}$ Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $3x^2+6y^2+2z^2+3y^2z^2-18x=6$

Ai có thể đăng lời giải cho bài 8 được không