Chủ đề này có 1 trả lời

[songviae]

Cho $x,y>0$ t/m $x^{2}+y^{2}=1$
Tìm Max,Min của $ P=\frac{4x^{2}+2xy-1}{2xy-2y^{2}+3}$

[tritanngo99]

Cho $x,y>0$ t/m $x^{2}+y^{2}=1$
Tìm Max,Min của $ P=\frac{4x^{2}+2xy-1}{2xy-2y^{2}+3}$

Thay $1=x^2+y^2$ vào $P$ ta được:

$P=\frac{4x^2+2xy-(x^2+y^2)}{2xy-2y^2+3(x^2+y^2)}=\frac{3x^2+2xy-y^2}{3x^2+2xy+y^2}$.

Xét $y=0\implies P=1$.

Xét $y\ne 0$. Đặt $x=ky (k\in \mathbb{R})\implies P=\frac{y^2(3k^2+2k-1)}{y^2(3k^2+2k+1)}=\frac{3k^2+2k-1}{3k^2+2k+1}$.

$\implies P(3k^2+2k+1)-(3k^2+2k-1)=(3P-3)k^2+(2P-2)k+(P+1)=0(*)$.

TH1: $P=1\implies$ vô nghiệm.

TH2: $P\ne 1,\Delta'_{k}=(P-1)^2-3(P-1)(P+1)=-2P^2-2P+4$.

Để phương trình $(*)$có nghiệm thì: $\Delta'_{k}\ge 0\iff -2P^2-2P+4\ge 0\iff -2\le P\le 1$.

Mà $P=1$ vô nghiệm nên trường hợp $y\ne 0$ không có $GTLN$.

Kết hợp hai trường hợp: $y=0$ và $y\ne 0$ trên ta được:

 $P_{min}=-2$. Dấu $=$ xảy ra tại $k=\frac{-1}{3}\implies (x;y)=(\frac{1}{\sqrt{10}};\frac{-1}{3\sqrt{10}}),(\frac{-1}{\sqrt{10}};\frac{1}{3\sqrt{10}})$.

 $P_{max}=1$. Dấu $=$ xảy ra tại $(x;y)=(1;0),(-1;0)$     

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 01-01-2017 - 17:26