Chủ đề này có 3 trả lời

[chieckhantiennu]

Cho 3 số thực dương a,b,c. Chứng minh:

1. 

$(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a})^2 \ge (a+b+c)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})$

2.

$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) \ge \dfrac{5}{16}(a+b+c+1)^2$

3.

$\dfrac{a^3b}{1+ab^2}+\dfrac{b^3c}{1+bc^2}+\dfrac{c^3a}{1+ca^2} \ge \dfrac{abc(a+b+c)}{1+abc}$

[Dark Repulsor]

Cho 3 số thực dương a,b,c. Chứng minh:

1. $(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a})^2 \ge (a+b+c)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})$

Áp dụng bđt $Cauchy-Schwarz$: $\sum\frac{a}{b}=\sum\frac{a^2}{ab}\geq\frac{(\sum a)^2}{\sum ab}$

  $\sum\frac{a}{b}=\sum\frac{a^2c^2}{abc^2}\geq\frac{(\sum ab)^2}{\prod a\sum a}$

Nhân vế theo vế $\Rightarrow (\sum\frac{a}{b})^2\geq\frac{\sum a\sum ab}{\prod a}=\sum a\sum\frac{1}{a}$

Dấu "$=$" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

[Dark Repulsor]

Cho 3 số thực dương a,b,c. Chứng minh:

3. $\dfrac{a^3b}{1+ab^2}+\dfrac{b^3c}{1+bc^2}+\dfrac{c^3a}{1+ca^2} \ge \dfrac{abc(a+b+c)}{1+abc}$

Áp dụng bđt $Cauchy-Schwarz$:

$\sum\frac{a^3b}{1+ab^2}=\sum\frac{a^4b^2c^2}{abc^2+a^2b^3c^2}\geq\frac{(\prod a\sum a)^2}{\prod a\sum a+(\prod a)^2\sum a}=\frac{\prod a\sum a}{1+\prod a}$

Dấu "$=$" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

[cyndaquil]

 

 

2.

$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) \ge \dfrac{5}{16}(a+b+c+1)^2$

 

Có $(a^2+1)(b^2+1)=\frac {5(a+b)^2}{8}+\frac{15}{16}+\frac {3(a-b)^2}8+\left( ab -\frac 14\right)^2$

$\ge \frac {5(a+b)^2}{8}+\frac{15}{16} $

 

Nên chỉ cần chỉ ra $\left[2(a+b)^2+3 \right](c^2+1) \ge (a+b+c+1)^2$

Thật vậy, $VT \ge \left[ (a+b)^2+2(a+b)+2\right](c^2+1) = \left[(a+b+1)^2+1 \right](1+c^2) \overset{Cauchy-Schwarz}{\ge} (a+b+c+1)^2$