Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2$. Chứng minh rằng $x+y+z\leq xyz+2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngan Chery: 02-01-2017 - 15:47
Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2$. Chứng minh rằng $x+y+z\leq xyz+2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngan Chery: 02-01-2017 - 15:47
a
BĐT c/m $\Leftrightarrow x(1-yz)+y+z \le 2$
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxky $x(1-yz)+y+z \le (x^2+(y+z)^2)(1+(1-yz)^2)=(2+2yz)(1+(1-yz)^2)$
Ta c/m đc với $a \le 1$ thì $(2+2yz)(1+(1-yz)^2) \le 2$ và chú ý $x^2+y^2+z^2=2 \ge y^2+z^2 \ge 2yz \Rightarrow 1 \ge yz$
ch
BĐT c/m $\Leftrightarrow x(1-yz)+y+z \le 2$
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxky $x(1-yz)+y+z \le (x^2+(y+z)^2)(1+(1-yz)^2)=(2+2yz)(1+(1-yz)^2)$
Ta c/m đc với $a \le 1$ thì $(2+2yz)(1+(1-yz)^2) \le 2$ và chú ý $x^2+y^2+z^2=2 \ge y^2+z^2 \ge 2yz \Rightarrow 1 \ge yz$
cho em hỏi đó có phải phương pháp chung cho nhưng bài dạng kiểu này khộng ạ, nếu có ppchung chị post lên hộ em
Bài này có nhiều cách, có thể dùng Cauchy-Schwarz, dirichle, hàm số và cả schur
Bài này có nhiều cách, có thể dùng Cauchy-Schwarz, dirichle, hàm số và cả schur
nhờ bạn làm cách này bằng nhiều cách cái , tks
Bài này có nhiều cách, có thể dùng Cauchy-Schwarz, dirichle, hàm số và cả schur
Hướng dẫn em theo cách dirichlet được không ạ? Em đang định CM theo hướng là $\left ( x-1 \right )\left ( yz-1 \right )\geq 0$ (do $\left | yz \right |\leq 1$) và có ít nhất 2 số nhỏ hơn 1. Lại có $\left ( y-1 \right )\left ( z-1 \right )\geq 0$ suy ra đpcm. Nhưng thế thì chỉ đúng với mỗi trường hợp cả 3 số đều nhỏ hơn 1 thôi ạ, còn với trường hợp có 1 số lớn hơn 1, 2 số nhỏ hơn 1 thì em không biết làm thế nào
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngan Chery: 02-01-2017 - 23:21
a
Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2$. Chứng minh rằng $x+y+z\leq xyz+2$
Cách 1: C-S:
$x+y+z-xyz=x\left(1-yz\right)+\left(y+z\right).1\leq \sqrt{\left(x^2+\left(y+z\right)^2\right)\left(\left(1-yz\right)^2+1\right)}=\sqrt{\left(x^2+y^2+z^2+2yz\right)\left(2-2yz+y^2z^2\right)}=\sqrt{2\left(1+yz\right)\left(2-2yz+y^2z^2\right)}$
$\left(1+yz\right)\left(2-2yz+y^2z^2\right)\leq 2\Leftrightarrow yz\leq 1$
$yz\leq \frac{y^2+z^2}{2}\leq \frac{x^2+y^2+z^2}{2}=1$
Cách 2:
Ý tưởng bạn đúng nhưng đến đó phải xử lí 1 đoạn nữa. Có thể tham khảo cách đánh giá sau của anh Dog:
Nếu $x\leqslant 0$ thì $xyz+2-x-y-z=x(yz-1)+(2-y-z)\geqslant 0$
Nếu $x\geqslant y\geqslant z\geqslant 0$ thì xét hai trường hợp
- $x\leqslant 1$ thì $xyz+2-x-y-z=(yz-1)(x-1)+(y-1)(z-1)\geqslant 0$
- $x\geqslant 1$ thì $x+y+z\leqslant \sqrt{2(x^2+(y+z)^2)}=2\sqrt{yz+1}\leqslant yz+2\leqslant xyz+2$
Cách 3: Tham khảo pp này ở đây !
Cách 4: Schur Cách này có lẽ mình nhìn nhầm, chắc có thể ra nhưng trâu bò :v
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 03-01-2017 - 10:17
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh