Chủ đề này có 3 trả lời

[TOAN2506]

$\frac{1}{\sqrt{a(b+c)}}+\frac{1}{\sqrt{b(c+a)}}+\frac{1}{\sqrt{c(a+b)}}\geq \frac{1}{4}$

[tienduc]

$\frac{1}{\sqrt{a(b+c)}}+\frac{1}{\sqrt{b(c+a)}}+\frac{1}{\sqrt{c(a+b)}}\geq \frac{1}{4}$

Áp dụng BĐT $cauchy$ có 

$\sqrt{2a(b+c)}\leq \frac{2a+b+c}{2}\rightarrow \frac{1}{\sqrt{a(b+c)}}\geq \frac{2\sqrt{2}}{2a+b+c}$

CMTT $\rightarrow \frac{1}{\sqrt{b(a+c)}}\geq \frac{2\sqrt{2}}{2b+a+c};\frac{1}{\sqrt{c(a+b)}}\geq \frac{2\sqrt{2}}{2c+a+b}$

Cộng vế 

$\rightarrow VT\geq 2\sqrt{2}(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{2b+a+c}+\frac{1}{2c+a+b})\geq 2\sqrt{2}.\frac{9}{4(a+b+c)}= \frac{1}{4}$

(BĐT $schwarz$)

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=6\sqrt{2}$

[TOAN2506]

camon bạn nha          

[Zz Isaac Newton Zz]

$\frac{1}{\sqrt{a(b+c)}}+\frac{1}{\sqrt{b(c+a)}}+\frac{1}{\sqrt{c(a+b)}}\geq \frac{1}{4}$

Ta sử dụng bất đẳng thức $Holder:$ Cho $a, b, c, x, y, z, m, n, p$ là các số thực dương thì $(a^{3}+b^{3}+c^{3})(x^{3}+y^{3}+z^{3})(m^{3}+n^{3}+p^{3})\geq (axm+byn+czp)^{3}.$

Áp dụng vào bài toán, ta đặt $Q=\frac{1}{\sqrt{a(b+c)}}+\frac{1}{\sqrt{b(c+a)}}+\frac{1}{\sqrt{c(a+b)}}$ thì 

$\left \lfloor \frac{1^{3}}{(\sqrt[6]{a})^{3}.(\sqrt[6]{b+c})^{3}} +\frac{1^{3}}{(\sqrt[6]{b})^{3}.(\sqrt[6]{c+a})^{3}}+\frac{1^{3}}{(\sqrt[6]{c})^{3}.(\sqrt[6]{a+b})^{3}}\right \rfloor.\left [ (\sqrt[6]{a})^{3}+(\sqrt[6]{b})^{3}+(\sqrt[6]{c})^{3} \right ].\left [ (\sqrt[6]{a+b})^{3}+(\sqrt[6]{b+c})^{3}+(\sqrt[6]{c+a})^{3} \right ]\geq 27$$\Leftrightarrow Q.(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}).(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a})\geq 27\Leftrightarrow Q\geq \frac{27}{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}\sqrt{c+a})}\geq \frac{1}{4}$ (1)

Để bất đẳng thức (1) đúng, ta chỉ cần chứng minh được: $T=(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}).(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a})\leq 108.$ Theo bất đẳng thức $Bunyakovsky$ thì $T\leq \sqrt{(1^{2}+1^{2}+1^{2})((\sqrt{a})^{2}+(\sqrt{b})^{2}+(\sqrt{c})^{2})}.\sqrt{(1^{2}+1^{2}+1^{2})((\sqrt{a+b})^{2}+(\sqrt{b+c})^{2}+(\sqrt{c+a})^{2})}=\sqrt{3(a+b+c)}.\sqrt{6(a+b+c)}=\sqrt{3.18.\sqrt{2}}.\sqrt{6.18.\sqrt{2}}=108.$ Từ đây dễ dàng suy ra bất đẳng thức cần chứng minh $Q=\frac{1}{\sqrt{a(b+c)}}+\frac{1}{\sqrt{b(c+a)}}+\frac{1}{\sqrt{c(a+b)}}$$\geq \frac{1}{4}.$