Chủ đề này có 1 trả lời

[terence]

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn: $x+y+z=1$. Tìm GTLN của $Q=\frac{x-yz}{x+yz}+\frac{y-xz}{y+xz}+\frac{z-xy}{z+xy}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 06-01-2017 - 09:49

[tritanngo99]

Cho x, y, z >0 thỏa mãn: x+y+z=1

Tìm max Q=$\frac{x-yz}{x+yz}+\frac{y-xz}{y+xz}+\frac{z-xy}{z+xy}$

Ta có: $Q=\sum \frac{x-yz}{x+yz}=\sum \frac{x+yz-2yz}{x+yz}=\sum(1-\frac{2yz}{x+yz})=3-2\sum \frac{yz}{x+yz}$.

Lại có: $\sum \frac{yz}{x+yz}=\sum \frac{yz}{x(x+y+z)+yz}=\sum \frac{yz}{(x+y)(x+z)}=\frac{\sum yz(y+z)}{(x+y)(y+z)(z+x)}$.

Mà: $\prod{(x+y)}=\sum yz(y+z)+2xyz\implies \sum \frac{yz(y+z)}{x+yz}=1-\frac{2xyz}{\prod{(x+y)}}$

$\implies Q=1+\frac{4xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}$.

Đến đây áp dụng BDT Cauchy ta có: $(x+y)(y+z)(z+x)\ge 8xyz\implies Q\le 1+\frac{4}{8}=\frac{3}{2}$.

Dấu $=$ xảy ra tại $x=y=z=\frac{1}{3}$.

Vậy $Q_{max}=\frac{3}{2}$