Cho $a,b,c \in \left [ 0;1 \right ]$
Chưng minh rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+1$
$a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+1$
Bắt đầu bởi khanh2101, 06-01-2017 - 10:24
#2
Đã gửi 06-01-2017 - 10:49
tritanngo99
-
- Điều hành viên THPT
-
- 1644 Bài viết
Đại úy
Cho $a,b,c \in \left [ 0;1 \right ]$
Chưng minh rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+1$
Do $a,b,c\in [0;1]\implies \left\{\begin{matrix} \sum a(a-1)(b-1)\ge 0(1)\\ (a-1)(b-1)(c-1)\le 0(2) \end{matrix}\right.$
Ta có: $(1)\iff \sum a^2b+\sum a\ge \sum a^2+\sum ab(3)$.
$(2)\iff 1+\sum ab\ge \sum a+abc\ge \sum a(4)$.
Cộng $(3)$ và $(4)$ vế theo vế và rút gọn ta được: $\sum a^2b+1\ge \sum a^2\implies Q.E.D$.
Dấu $=$ xảy ra tại: $(a;b;c)=(0;0;1),(1,1,0)$ và các hoán vị.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
