Em xin đề xuất $2$ bài mới:
Bài toán 5 (Thi vòng 1 chuyên KHTN 2015-2016): Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân có tâm đường tròn nội tiếp $I.$ $AI$ cắt $BC$ tại $D.$ Lấy $E,F$ lần lượt đối xứng $D$ qua $IB$ và $IC.$ $M,N,J$ lần lượt là trung điểm của $DE,DF,EF.$ Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEM$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $AFN$ tại $P$ khác $A.$ Chứng minh rằng $A,J,P$ thẳng hàng.
Bài toán 6 (Đề vòng 1 KHTN 2016-2017): Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ có A$AD$ là phân giác trong của tam giác. $AD$ cắt $(O)$ tại điểm thứ $2$ là $E.$ Gọi $M$ là trung điểm của $AD.$ $BM$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $P$ khác $B.$ $EP$ cắt $AC$ tại điểm thứ hai $N.$
a) Chứng minh $N$ là trung điểm của $AC.$
b) Gọi $(EMN)$ cắt $BM$ tại $R$ khác $M.$ Chứng minh rằng $RA \perp RC.$
Bài 5:
Dễ chứng minh được các điều sau:
$BC//EF$, $\angle APM=\angle DEF$ Từ đó suy ra: $\angle MPN+\angle MJN=180\Rightarrow$ Tứ giác MJNP nội tiếp.
Ta có:
$\angle APM=\angle DEF=\angle JNM=\angle JPM$ $\Rightarrow$ A, J, P thẳng hàng.
Bài 6:
Ta dễ dàng chứng minh được:
N là trung điểm AC, Tứ giác APNM nội tiếp.
Xét $\bigtriangleup RNE$ và $\bigtriangleup CNE$ có:
$\angle RNE=\angle RME=\angle ENC;\angle REN=\angle NMP=\angle NAP=\angle NEC$ và cạnh NE chung
$\Rightarrow \bigtriangleup RNE = \bigtriangleup CNE(g.c.g)\Rightarrow RN=NC=AN=\frac{1}{2}.AC\Rightarrow RA \perp RC$