$\boxed{43}$ Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$ các đường cao $BE,CF,AD$ cắt nhau tại $H$, lấy $H$' đối xứng với $H$ qua $BC$, $H'E$ cắt $(O)$ tại $M$. Chứng minh $BM$ đi qua trung điểm $EF$.
1 cách khác cho bài 43
$\boxed{\text{Lời giải bài 43}}$
Gọi $I$ là giao điểm của $BM$ và $EF$. Từ $E$ kẻ đường vuông góc với AB tại $K$
Bổ đề: $H'$ đối xứng với trực tâm $H$ qua $BC$
$\Rightarrow H' $ thuộc đường tròn tâm $(O)$
Tứ giác $BCEF$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{FEB}= \widehat{BCF}$
$\widehat{BCF} = \widehat{BAD}$ (cùng phụ $\widehat{ABC}$)
$\widehat{BAD}=\widehat{BMH'}$ (cùng chắn cung $BH'$)
$\Rightarrow \widehat{FEB}=\widehat{BMH'}$
$\Rightarrow \Delta BEI \sim \Delta BME $ (g.g)$\Rightarrow BE^2 = BI.BM$
Hệ thức lượng: $BE^2=BK.AB$
$ \Rightarrow BI.BM=BK.AB$ $\Leftrightarrow \dfrac{BK}{BM} = \dfrac{BI}{AB}$
$\Rightarrow \Delta BIK \sim \Delta BAM \Rightarrow \widehat{BKI} = \widehat{BMA}$
Mà $\widehat{BMA}=\widehat{BCA}=\widehat{AFE}$ $\Rightarrow \widehat{BKI}=\widehat{AFE}$ hay $\widehat{FKI}=\widehat{KFI}$
$\Rightarrow \Delta KFI$ là tam giác cân tại I
$\Rightarrow IK=IF$ $\Rightarrow IK=IF=IE=\dfrac{1}{2}EF$
Vậy $BM$ đi qua trung điểm $I$ của $EF$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr Cooper: 11-04-2017 - 10:14