Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng:
T= $\frac{a}{3a+b+c}+\frac{b}{3b+a+c}+\frac{c}{3c+a+b}\leq \frac{3}{5}$
Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng:
T= $\frac{a}{3a+b+c}+\frac{b}{3b+a+c}+\frac{c}{3c+a+b}\leq \frac{3}{5}$
"Tình yêu thương lớn lên nhờ sự cho đi. Sự yêu thương mà chúng ta cho đi chính là sự yêu thương mà chúng ta có được"
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sharker: 21-01-2017 - 23:36
Anh sẽ vẫn bên em dù bất cứ nơi đâu
Anh sẽ là hạt bụi bay theo gió
Anh sẽ là ngôi sao trên bầu trời phương Bắc
Anh không bao giờ dừng lại ở một nơi nào
Anh sẽ là ngọn gió thổi qua các ngọn cây
Em sẽ mãi mãi đợi anh chứ ??
will you wait for me forever
Xét $a+b+c=k> 0$.
Để thuận tiện , ta cho $k=3$.
Khi đó: $\frac{a}{3a+b+c}= \frac{a}{2a+3}\leq \frac{3}{25}a+\frac{2}{25}$.
BĐT cuối đúng vì: $\frac{a}{2a+3}\leq \frac{3}{25}a+\frac{2}{25}\Leftrightarrow \frac{6}{25}(a-1)^2\geq 0$.
Tương tự, ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1.$
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
$\sum {\frac{a}{{3a + b + c}}} \leqslant \frac{3}{5} \Leftrightarrow \sum {\frac{{3a}}{{3a + b + c}} \leqslant \frac{9}{5} \Leftrightarrow \sum {1 - \frac{{b + c}}{{3a + b + c}} \leqslant } } \frac{9}{5} $$BDT \Leftrightarrow \sum {\frac{{(b + c)}}{{3a + b + c}} \geqslant } \frac{6}{5} $$ \sum {\frac{{(b + c)}}{{3a + b + c}} = \sum {\frac{{{{(b + c)}^2}}}{{(b + c)(3a + b + c)}} \geqslant \frac{{4{{(a + b + c)}^2}}}{{\sum {{{(b + c)}^2} + \sum {3a(b + c)} } }}} } $$BDT \Leftrightarrow 20{(a + b + c)^2} \geqslant 6\sum {{{(b + c)}^2} + 18\sum {a(b + c)} } $$\Leftrightarrow {a^2} - a(b + c) + {b^2} - bc + {c^2} \geqslant 0 $${\Delta _a} = - 3{(b - c)^2} \leqslant 0 $mà $a > 0 $$\to f(a) \geqslant 0(dpcm) $(định lý về dấu của tam thức bậc 2)
em ý ms c2 sao đi dùng đạo hàm zợ :v
$\sum {\frac{a}{{3a + b + c}}} \leqslant \frac{3}{5} \Leftrightarrow \sum {\frac{{3a}}{{3a + b + c}} \leqslant \frac{9}{5} \Leftrightarrow \sum {1 - \frac{{b + c}}{{3a + b + c}} \leqslant } } \frac{9}{5} $$BDT \Leftrightarrow \sum {\frac{{(b + c)}}{{3a + b + c}} \geqslant } \frac{6}{5} $$ \sum {\frac{{(b + c)}}{{3a + b + c}} = \sum {\frac{{{{(b + c)}^2}}}{{(b + c)(3a + b + c)}} \geqslant \frac{{4{{(a + b + c)}^2}}}{{\sum {{{(b + c)}^2} + \sum {3a(b + c)} } }}} } $$BDT \Leftrightarrow 20{(a + b + c)^2} \geqslant 6\sum {{{(b + c)}^2} + 18\sum {a(b + c)} } $$\Leftrightarrow {a^2} - a(b + c) + {b^2} - bc + {c^2} \geqslant 0 $${\Delta _a} = - 3{(b - c)^2} \leqslant 0 $mà $a > 0 $$\to f(a) \geqslant 0(dpcm) $(định lý về dấu của tam thức bậc 2)
e không hiểu chỗ này lắm
"Tình yêu thương lớn lên nhờ sự cho đi. Sự yêu thương mà chúng ta cho đi chính là sự yêu thương mà chúng ta có được"
Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng:
T= $\frac{a}{3a+b+c}+\frac{b}{3b+a+c}+\frac{c}{3c+a+b}\leq \frac{3}{5}$
Xét hiệu $3-2T= 1-\frac{2a}{3a+b+c}+1-\frac{2b}{3b+c+a}+1-\frac{2c}{3c+a+b}$
$\rightarrow 3-2T= (a+b+c)(\frac{1}{3a+b+c}+\frac{1}{3b+c+a}+\frac{1}{3c+a+b})$
Áp dụng BĐT $schwarz$ ta có
$\frac{1}{3a+b+c}+\frac{1}{3b+c+a}+\frac{1}{3c+a+b}\geq \frac{9}{5(a+b+c)}$
$3-2T\geq (a+b+c).\frac{9}{5(a+b+c)}= \frac{9}{5}$
$\rightarrow T\leq \frac{3}{5}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 22-01-2017 - 11:08
e không hiểu chỗ này lắm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sharker: 22-01-2017 - 11:49
Anh sẽ vẫn bên em dù bất cứ nơi đâu
Anh sẽ là hạt bụi bay theo gió
Anh sẽ là ngôi sao trên bầu trời phương Bắc
Anh không bao giờ dừng lại ở một nơi nào
Anh sẽ là ngọn gió thổi qua các ngọn cây
Em sẽ mãi mãi đợi anh chứ ??
will you wait for me forever
Lời giải. Ta có:
$VP-VT=\frac{2}{5}\sum_{cyc}\frac{(a-b)^2}{(3a+b+c)(3b+c+a)}\geqslant 0$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh