Chủ đề này có 3 trả lời

[Creh Leonard]

Cho các số thực a, b, c thoả mãn: $a,b,c\geqslant 1$ và $a + b + c + 2 = abc$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$P= \frac{1+\sqrt{a^{2}-1}}{a} + \frac{1+\sqrt{b^{2}-1}}{b} +\frac{1+\sqrt{c^{2}-1}}{c}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Creh Leonard: 24-01-2017 - 15:08

[dungxibo123]

ta chứng minh $P \leq \frac{3+3\sqrt{3}}{2}$ có $P=\sum \frac{1}{a}+\sum \sqrt{1-\frac{1}{a^{2}}}\leq \sum \frac{1}{a}+\sqrt{3(3-(\sum \frac{1}{a^{2}}))}\leq \sum \frac{1}{a}+\sum \sqrt{9-(\sum \frac{1}{a})^{2}}$
đặt $\sum \frac{1}{a}=t$ ta chứng minh $t+\sqrt{9-t^{2}} \leq \frac{3+3\sqrt{3}}{2}$ $(1)$
từ đề bài chia $abc$ hai về có$1=\sum \frac{1}{ab}+\frac{2}{abc}\leq \frac{t^{2}}{3}+\frac{2t^{3}}{27}\Leftrightarrow t\geq \frac{3}{2}$

áp dụng điều vừa rồi biến đổi tương đương ở  $(1)$ thì chắc là okie

[Creh Leonard]

Đoạn cuối bị ngược dấu bạn à.

[phamngochung9a]

ta chứng minh $P \leq \frac{3+3\sqrt{3}}{2}$ có $P=\sum \frac{1}{a}+\sum \sqrt{1-\frac{1}{a^{2}}}\leq \sum \frac{1}{a}+\sqrt{3(3-(\sum \frac{1}{a^{2}}))}\leq \sum \frac{1}{a}+\sum \sqrt{9-(\sum \frac{1}{a})^{2}}$
đặt $\sum \frac{1}{a}=t$ ta chứng minh $t+\sqrt{9-t^{2}} \leq \frac{3+3\sqrt{3}}{2}$ $(1)$
từ đề bài chia $abc$ hai về có$1=\sum \frac{1}{ab}+\frac{2}{abc}\leq \frac{t^{2}}{3}+\frac{2t^{3}}{27}\Leftrightarrow t\geq \frac{3}{2}$

áp dụng điều vừa rồi biến đổi tương đương ở  $(1)$ thì chắc là okie

Cho $t=1,6$ thì $t+\sqrt{9-t^{2}}> \frac{3+3\sqrt{3}}{2}$ nhé bạn. Lần sau bạn chú ý kiểm tra thật kĩ lời giải trước khi đăng bài nhé, đừng làm giữa chừng rồi đoán bừa cho xong 

 

Cho các số thực a, b, c thoả mãn: $a,b,c\geqslant 1$ và $a + b + c + 2 = abc$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$P= \frac{1+\sqrt{a^{2}-1}}{a} + \frac{1+\sqrt{b^{2}-1}}{b} +\frac{1+\sqrt{c^{2}-1}}{c}$

 

Từ đề bài, dễ thấy tồn tại các số thực dương $x,y,z$ sao cho $\left\{\begin{matrix} a=\frac{y+z}{x} & & \\ b=\frac{z+x}{y} & & \\ c=\frac{x+y}{z} & & \end{matrix}\right.$

 

Khi đó: $P=\sum \frac{x+\sqrt{\left ( y+z \right )^{2}-x^{2}}}{y+z}=\sum \frac{x+y+z+\sqrt{\left ( x+y+z \right )\left ( y+z-x \right )}}{y+z}-3\\=2\sum \frac{1+\sqrt{\frac{y+z-x}{x+y+z}}}{\frac{y+z-x}{x+y+z}+1}-3$

 

Đổi biến: $\left ( \sqrt{\frac{y+z-x}{x+y+z}},\sqrt{\frac{z+x-y}{x+y+z}},\sqrt{\frac{x+y-z}{x+y+z}} \right )\rightarrow \left ( x,y,z \right )$, khi đó:

Giả thiết trở thành $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$

 

Cần tìm GTLN của: $P=2\left ( \frac{1+x}{1+x^{2}}+\frac{1+y}{1+y^{2}}+\frac{1+z}{1+z^{2}} \right )-3$

 

Bằng phương pháp tiếp tuyến, ta sẽ chứng minh: $\frac{1+x}{1+x^{2}}\leq \frac{3\sqrt{3}-9}{16}.x^{2}+\frac{15+3\sqrt{3}}{16}$     $(*)$

 

Thật vậy: $(*)\Leftrightarrow \left ( 3\sqrt{3}-9 \right )\left ( x^{2}-\frac{1}{3} \right )^{2}+8\sqrt{3}\left ( x-\frac{1}{\sqrt{3}} \right )^{2}\geq 0\\\Leftrightarrow \left ( x-\frac{1}{\sqrt{3}} \right )^{2}\left [ \left ( 3\sqrt{3}-9 \right )\left ( x+\frac{1}{\sqrt{3}} \right )^{2}+8\sqrt{3} \right ]\geq 0$

 

Do $x<1$ nên $\left ( 3\sqrt{3}-9 \right )\left ( x+\frac{1}{\sqrt{3}} \right )^{2}+8\sqrt{3}> \left ( 3\sqrt{3}-9 \right )\left ( 1+\frac{1}{\sqrt{3}} \right )^{2}+8\sqrt{3}> 0$

 

$\Rightarrow (*)$ đúng.

 

Do đó: $P\leq 2\left [ \frac{3\sqrt{3}-9}{16}\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )+\frac{9\sqrt{3}+45}{16} \right ]-3=\frac{3+3\sqrt{3}}{2}$

 

Vậy $\max P=\frac{3+3\sqrt{3}}{2}$ $\Leftrightarrow a=b=c=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 25-01-2017 - 17:30