Chủ đề này có 1 trả lời

[NTMFlashNo1]

Cho $a,b,c$ thuộc đoạn $\left [ \frac{1}{\sqrt{2}},\sqrt{2} \right ]$

Chứng minh:

$\frac{3}{a+2b}+\frac{3}{b+2c}+\frac{3}{c+2a}\geq \frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}$

[9nho10mong]

Cho $a,b,c$ thuộc đoạn $\left [ \frac{1}{\sqrt{2}},\sqrt{2} \right ]$

Chứng minh:

$\frac{3}{a+2b}+\frac{3}{b+2c}+\frac{3}{c+2a}\geq \frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}$

 

Trước tiên với $a,b,c \in \left[ \dfrac{1}{\sqrt{2}} \ ; \ \sqrt{2} \right]$ luôn có

$$ \dfrac{3}{a+2b} - \dfrac{2}{a+b} = \dfrac{1}{6b} - \dfrac{1}{6a} + \dfrac{\left( a-b\right)^2 \left( 2b-a \right)}{6ab \left( a+2b \right) \left( a+b \right)} \ge   \dfrac{1}{6b} - \dfrac{1}{6a} \quad{(1)}$$

Tương tự cũng có

$$\dfrac{3}{b+2c} - \dfrac{2}{b+c}  \ge   \dfrac{1}{6c} - \dfrac{1}{6b} \quad{(2)}$$

Và

$$\dfrac{3}{c+2a} - \dfrac{2}{c+a}  \ge   \dfrac{1}{6a} - \dfrac{1}{6c} \quad{(3)}$$

Từ $(1),(2),(3)$ có

$$ \dfrac{3}{a+2b}+\dfrac{3}{b+2c}+\dfrac{3}{c+2a} \ge \dfrac{2}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{2}{c+a} $$

Đó là điều cần chứng minh.