Chủ đề này có 1 trả lời

[luukhaiuy]

1,cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh rằng $3(a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc})\leq 4(a+b+c)$

2,cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1 Cmr:$(a-1+\frac{1}{b})(b-1+\frac{1}{c})(c-1+\frac{1}{a})\leq 1$

3,Cmr nếu $y\geq x\geq 0$ thì ta luôn có BĐT:$16y^2-13x\sqrt{y^2-x^2}-9x\sqrt{y^2+x^2}\geq 0$

4,tìm b lớn nhất sao cho $p^2+q^2+1\geq bp(q+1)$

[Nguyenhuyen_AG]

1,cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh rằng $3(a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc})\leq 4(a+b+c)$

2,cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1 Cmr:$(a-1+\frac{1}{b})(b-1+\frac{1}{c})(c-1+\frac{1}{a})\leq 1$

3,Cmr nếu $y\geq x\geq 0$ thì ta luôn có BĐT:$16y^2-13x\sqrt{y^2-x^2}-9x\sqrt{y^2+x^2}\geq 0$

4,tìm b lớn nhất sao cho $p^2+q^2+1\geq bp(q+1)$

 

Câu 1 là đề thi của Bulgaria nhưng không nhớ năm nào, câu 2 thì IMO 2000, câu 3 chia $y^2$ là đề thi Olympiad 30/4/1996 lớp 10.

 

Câu 4, áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và AM-GM, ta có

\[p^2+q^2+1 \geqslant p^2 + \frac{1}{2}(q+1)^2 \geqslant 2\sqrt{p^2 \cdot \frac{1}{2}(q+1)^2} = \sqrt{2}|p(q+1)|.\]

Từ đó xác định được $b$ và dấu bằng.