Chủ đề này có 5 trả lời

[steven pears]

cho x + y = 1; x, y $\geq 0$. tìm GTNN  của $\left ( x^{2} + \frac{1}{y^{2}} \right )\left ( y^{2} + \frac{1}{x^{2}} \right )$

[dat9adst20152016]

cho x + y = 1; x, y $\geq 0$. tìm GTNN  của $\left ( x^{2} + \frac{1}{y^{2}} \right )\left ( y^{2} + \frac{1}{x^{2}} \right )$

  Có: $(x^{2}+\frac{1}{y^{2}})(y^{2}+\frac{1}{x^{2}})=x^{2}y^{2}+\frac{1}{x^{2}y^{2}}+2= x^{2}y^{2}+\frac{1}{256x^{2}y^{2}}+\frac{255}{256x^{2}y^{2}}+2\geq 2\cdot \sqrt{\frac{1}{256}}+\frac{255}{256(\frac{x+y}{2})^{4}}+2= \frac{289}{16}$

  Dấu = xảy ra khi x=y=$\frac{1}{2}$

[steven pears]

  Có: $(x^{2}+\frac{1}{y^{2}})(y^{2}+\frac{1}{x^{2}})=x^{2}y^{2}+\frac{1}{x^{2}y^{2}}+2= x^{2}y^{2}+\frac{1}{256x^{2}y^{2}}+\frac{255}{256x^{2}y^{2}}+2\geq 2\cdot \sqrt{\frac{1}{256}}+\frac{255}{256(\frac{x+y}{2})^{4}}+2= \frac{289}{16}$

  Dấu = xảy ra khi x=y=$\frac{1}{2}$

có cách nào tổng quát và dễ hiểu hơn không ạ?

[Zeref]

  Có: $(x^{2}+\frac{1}{y^{2}})(y^{2}+\frac{1}{x^{2}})=x^{2}y^{2}+\frac{1}{x^{2}y^{2}}+2= x^{2}y^{2}+\frac{1}{256x^{2}y^{2}}+\frac{255}{256x^{2}y^{2}}+2\geq 2\cdot \sqrt{\frac{1}{256}}+\frac{255}{256(\frac{x+y}{2})^{4}}+2= \frac{289}{16}$

  Dấu = xảy ra khi x=y=$\frac{1}{2}$

Dự đoán dấu "=" xảy ra tại $x=y=\frac{1}{2}$

Áp dụng BĐT $C-S$ và $AM-GM$

$\left ( x^{2} + \frac{1}{y^{2}} \right )\left ( y^{2} + \frac{1}{x^{2}} \right ) \geq (xy+\frac{1}{xy})^2 =(xy+\frac{1}{16xy}+\frac{15}{16xy})^2 \geq (\frac{2}{4}+\frac{15}{4})^2=\frac{289}{16}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zeref: 27-01-2017 - 12:49

[huykietbs]

cho x + y = 1; x, y $\geq 0$. tìm GTNN  của $\left ( x^{2} + \frac{1}{y^{2}} \right )\left ( y^{2} + \frac{1}{x^{2}} \right )$

Bạn hãy tham khảo ở đây nhé:http://mocnoi.com/ho...1-x-2-y-1-y.htm

[The Flash]

có cách nào tổng quát và dễ hiểu hơn không ạ?

cách làm như thế là hợp lí rồi mà bạn