Chủ đề này có 3 trả lời

[tienduc]

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$. Tìm Min 

$P=a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}$

[hoakute]

http://diendantoanho...t-việt-namvimf/

 

#cacbaiBDTthichuyenbai1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoakute: 06-02-2017 - 22:41

[meomunsociu]

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$. Tìm Min 

$P=a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}$

Đặt $a^2+b^2+c^2=t$. Do $3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2\rightarrow t\geq 3$

$ab+bc+ca=\frac{9-t}{2}$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

$a^2b+b^2c+c^2a\leq \sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}\leq \sqrt{(\sum a^2)(\sum a^2)^{2}}\doteq \sqrt{\frac{t^3}{3}}\doteq \sqrt{\frac{t^3}{3}.3.\frac{1}{3}}\leq \sqrt{\frac{t^4}{9}}\doteq \frac{t^2}{3}$ (Do $3\leq t$)

Do đó cần CM:

$t+\frac{\frac{9-t}{2}}{\frac{t^2}{3}}\geq 4$

$\Leftrightarrow (t-3)(2t^2-2t-9)\geq 0$ (Đúng do $t\geq 3$)

Dấu "=" xảy ra tại a=b=c=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi meomunsociu: 28-02-2017 - 18:45

[diemdaotran]

ta có $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=9\Rightarrow ab+bc+ca=\frac{9-(a^2+b^2+c^2)}{2}$

Mà $3(a^2+b^2+c^2)=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)=a^3+ab^2+ac^2+ba^2+b^3+bc^2+ca^2+cb^2+c^3\geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)(Cô-si)\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq a^2b+b^2c+c^2a$ Khi đó P$\geq a^2+b^2+c^2+\frac{9-(a^2+b^2+c^2)}{2(a^2+b^2+c^2)}$

Đặt $a^2+b^2+c^2=$t$\Rightarrow P=t+\frac{9-t}{2t}$$\Rightarrow$P=$\frac{t}{2}+\frac{9}{2t}+\frac{t}{2}-\frac{1}{2}$$\geq 3+\frac{t}{2}-\frac{1}{2}$Mà $3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2=9\Rightarrow t\geq 3$do đó P$\geq 3+\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=4$ Vậy Min P=4 DBXR khi a=b=c=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi diemdaotran: 16-04-2017 - 21:40