Cho 3 số a, b, c thoả mãn $a+b+c=6;0\leq a,b,c\leq 4$. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của
$P=a^4+b^4+c^4+24(1-a)(1-b)(1-c)$
PS: Hồi chiều mình gõ lạc đề bài khác, nhờ ĐHV sửa lại tiêu đề giùm
Cũng như cách đặt của viet9a14124869 ta có:
$P=\sum x^4+24(\sum x^2-\sum xy)+24=(\sum x^2)^2-2(\sum x^2y^2)+36(\sum x^2)-12(\sum x)^2+24$
Và cũng từ cách đặt ta suy ra:$x,y,z\in \left [ -2,2 \right ]$
Như vậy ta có:
$\left\{\begin{matrix} \prod (2-x)+\prod (2+x)\geq 0\\ \prod (4-x^2)\geq 0\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 16+4(\sum xy)\geq 0\\ 4(\sum x^2y^2)\geq 16(\sum x^2)+\prod x^2-64\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sum x^2\leq 8\\ 4(\sum x^2y^2)\geq 16(\sum x^2)+\prod x^2-64\geq 16(\sum x^2)-64\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sum x^2\leq 8\\ 2(\sum x^2y^2)\geq 8(\sum x^2)-32\end{matrix}\right.$
Như vậy ta có:
$P\leq (\sum x^2)^2-8(\sum x^2)+32+36(\sum x^2)+24=(\sum x^2)^2+28(\sum x^2)+56\leq 8^2+28.8+56=344$
Vậy Max P=344 khi $(a,b,c)\rightarrow (4,2,0)$ và các hoán vị
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cristianoronaldo: 24-04-2017 - 19:23