6 replies to this topic

[HoangKhanh2002]

Cho 3 số a, b, c thoả mãn $a+b+c=6;0\leq a,b,c\leq 4$. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của 

$P=a^4+b^4+c^4+24(1-a)(1-b)(1-c)$

PS: Hồi chiều mình gõ lạc đề bài khác, nhờ ĐHV sửa lại tiêu đề giùm

Edited by HoangKhanh2002, 11-02-2017 - 18:28.

[viet9a14124869]

nếu đề là a+b+c=3 thì dùng cô-si là xong 

bạn xem lại chắc đề là a+b+c=6 

[sharker]

$P=(6-(b+c))^2-(b+c)^2-bc+a(b+c)$

$P\geq (6-(b+c)^2) +(b+c)^2-\frac{(b+c)^2}{4}+(6-(b+c))(b+c)$

$Đặt $ $t=(b+c)$

$\rightarrow 4P\geq 3t^2+24t+144=3(t-4)^2+96\geq 96$

$\Leftrightarrow P\geq 24$

 Vậy min P=24 khi a=b=c=2

Edited by sharker, 11-02-2017 - 19:08.

[viet9a14124869]

bạn sharker làm nhầm đề rồi nhá ^-^

Cho 3 số a, b, c thoả mãn $a+b+c=6;0\leq a,b,c\leq 4$. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của 

$P=a^4+b^4+c^4+24(1-a)(1-b)(1-c)$

PS: Hồi chiều mình gõ lạc đề bài khác, nhờ ĐHV sửa lại tiêu đề giùm

Đặt a=2-x,b=2-y,c=2-z thì x+y+z =0 và ta có

$a^4+b^4+c^4+24(1-a)(1-b)(1-c)=24(x-1)(y-1)(z-1)+\sum x^4-8x^3+24x^2-32x+16$

$=x^4+y^4+z^4+24(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)-8(x^3+y^3+z^3-3xyz)+24=x^4+y^4+z^4+(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+24\geq 24\Leftrightarrow x=y=z=0\Leftrightarrow a=b=c=2$

[HoangKhanh2002]

Còn vế max, ai giúp mình được không???

PS: Bài này để lâu không ai trả lời, hôm nay lục lại...

[ToanTHPTHT]

Ai giúp với. Mình cũng đang cần nè

[cristianoronaldo]

Cho 3 số a, b, c thoả mãn $a+b+c=6;0\leq a,b,c\leq 4$. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của 

$P=a^4+b^4+c^4+24(1-a)(1-b)(1-c)$

PS: Hồi chiều mình gõ lạc đề bài khác, nhờ ĐHV sửa lại tiêu đề giùm

 

Cũng như cách đặt của viet9a14124869 ta có:

$P=\sum x^4+24(\sum x^2-\sum xy)+24=(\sum x^2)^2-2(\sum x^2y^2)+36(\sum x^2)-12(\sum x)^2+24$

Và cũng từ cách đặt ta suy ra:$x,y,z\in \left [ -2,2 \right ]$

Như vậy ta có:

$\left\{\begin{matrix} \prod (2-x)+\prod (2+x)\geq 0\\ \prod (4-x^2)\geq 0\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 16+4(\sum xy)\geq 0\\ 4(\sum x^2y^2)\geq 16(\sum x^2)+\prod x^2-64\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sum x^2\leq 8\\ 4(\sum x^2y^2)\geq 16(\sum x^2)+\prod x^2-64\geq 16(\sum x^2)-64\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sum x^2\leq 8\\ 2(\sum x^2y^2)\geq 8(\sum x^2)-32\end{matrix}\right.$

Như vậy ta có:

$P\leq (\sum x^2)^2-8(\sum x^2)+32+36(\sum x^2)+24=(\sum x^2)^2+28(\sum x^2)+56\leq 8^2+28.8+56=344$

Vậy Max P=344 khi $(a,b,c)\rightarrow (4,2,0)$ và các hoán vị

Edited by cristianoronaldo, 24-04-2017 - 19:23.