Cách giải bài toán này tương tự với bài toán sau:
(VMO 2004)
Cho tập $A=\{ 1,\ 2, \ \dots ,\ 16 \}$. Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất sao cho trong mỗi tập con $k$ phần tử của $A$ tồn tại hai số phân biệt $a,\ b$ mà $a^2+b^2$ là số nguyên tố.
Trở lại bài toán của bạn. Gọi $S=\{ 1,\ 2,\ \dots ,\ 20 \}$. Ta thấy rằng $S$ chứa đúng $10$ số chẵn. Hơn nữa nếu $a,\ b$ đều chẵn thì $a+b$ không thể là số nguyên tố. Do đó $k\geq 11$. Ta chứng minh rằng $k=11$ thỏa đề, bằng cách chia $S$ thành $10$ cặp, mỗi cặp có tổng là một số nguyên tố như sau
$$(1,4),\ (2,3),\ (5,8),\ (6,11),\ (7,10),\ (9,16),\ (12,13),\ (14,15),\ (17,20),\ (18,19).$$
Nếu ta lấy $11$ số bất kỳ thì kiểu gì cũng có hai số rơi vào vào một cặp, Q.E.D.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi IHateMath: 21-02-2017 - 19:28