Cho x,y,z thỏa mãn: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$
Tìm min: $A=\frac{x^{3}}{(1-x^{4})^{2}}+\frac{y^{3}}{(1-y^{4})^{2}}+\frac{z^{3}}{(1-z^{4})^{2}}$
Cho x,y,z thỏa mãn: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$
Tìm min: $A=\frac{x^{3}}{(1-x^{4})^{2}}+\frac{y^{3}}{(1-y^{4})^{2}}+\frac{z^{3}}{(1-z^{4})^{2}}$
"Knowledge knows no country but the learner must know the Fatherland".
(Louis Pasteur)
Cho x,y,z thỏa mãn: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$
Tìm min: $A=\frac{x^{3}}{(1-x^{4})^{2}}+\frac{y^{3}}{(1-y^{4})^{2}}+\frac{z^{3}}{(1-z^{4})^{2}}$
Mình nghĩ đề điều kiện là $x,y,z>0$
Áp dụng bất đẳng thức $Chebyshev$ ta có:
$A\geq \frac{1}{3}\left ( x^{3}+y^{3}+z^{3} \right )(\sum \frac{1}{(1-x^{4})^{2}})$
Theo bất đẳng thức $AM-GM$ có:
$\sum \frac{1}{(1-x^{4})^{2}}\geq \frac{1}{3}\left ( \sum \frac{1 }{1-x^{4}} \right )^{2}$
Do đó,
$A\geq \frac{1}{9}\left ( \sum x^{3} \right )\left ( \frac{1}{1-x^{4}} \right )^{2}$
Lại áp dụng $Holder$ ta có:
$(1+1+1)(x^{3}+y^{3}+z^{3})\left ( x^{3}+y^{3}+z^{3} \right )\geq \left ( \sum x^{2} \right )^{3}=1$
$\Rightarrow \sum x^{3}\geq \frac{1}{\sqrt{3}}$
Mà theo $Cauchy-Schwarz$ có,
$(\sum \frac{1}{1-x^{4}})^{2}\geq \left ( \frac{9}{3-\sum x^{4}} \right )^{2}\geq \left ( \frac{9}{3-\frac{1}{3}(\sum x^{2})^{2}} \right )^{2}= \frac{729}{64}$
Do đó,
$A\geq \frac{27\sqrt{3}}{64}$
Vậy $A_{min}=\frac{27\sqrt{3}}{64}$
Dấu$"="$ xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt {3}}$
Cách khác:
Sử dụng bất đẳng thức $Jensen$.
Nhưng mà đi thi dùng thì chắc người ta không chấp nhận nên thôi vậy.'
P/s:Học hơi ngu $BĐT$ nên có gì sai xin chỉ giáo.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTMFlashNo1: 26-02-2017 - 18:43
$\boxed{\text{Nguyễn Trực-TT-Kim Bài secondary school}}$
Mình nghĩ đề điều kiện là $x,y,z>0$
Áp dụng bất đẳng thức $Chebyshev$ ta có:
$A\geq \frac{1}{3}\left ( x^{3}+y^{3}+z^{3} \right )(\sum \frac{1}{(1-x^{4})^{2}})$
Theo bất đẳng thức $AM-GM$ có:
$\sum \frac{1}{(1-x^{4})^{2}}\geq \frac{1}{3}\left ( \sum \frac{1 }{1-x^{4}} \right )^{2}$
Do đó,
$A\geq \frac{1}{9}\left ( \sum x^{3} \right )\left ( \frac{1}{1-x^{4}} \right )^{2}$
Lại áp dụng $Chebyshev$ ta có:
$(1+1+1)(x^{3}+y^{3}+z^{3})\left ( x^{3}+y^{3}+z^{3} \right )\geq \left ( \sum x^{2} \right )^{3}=1$
$\Rightarrow \sum x^{3}\geq \frac{1}{\sqrt{3}}$
Đoạn này mình tưởng là Holder
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Subtract Zero: 26-02-2017 - 12:30
Tôi không lười biếng, tôi đơn giản chỉ: "Tiết kiệm năng lượng"
---Oreki Houtarou---
Đoạn này mình tưởng là Holder
Ak` uk
Mình hơi nhầm.
Muộn quá rồi nên dễ viết nhầm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTMFlashNo1: 26-02-2017 - 18:45
$\boxed{\text{Nguyễn Trực-TT-Kim Bài secondary school}}$
Ak` uk
Mình hơi nhầm.
Muộn qua rồi nên dễ viết nhầm.
Bây giờ tỉnh rồi chắc bạn nhận ra viết sai dấu bằng rồi chứ?
Tôi không lười biếng, tôi đơn giản chỉ: "Tiết kiệm năng lượng"
---Oreki Houtarou---
Cho x,y,z thỏa mãn: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$
Tìm min: $A=\frac{x^{3}}{(1-x^{4})^{2}}+\frac{y^{3}}{(1-y^{4})^{2}}+\frac{z^{3}}{(1-z^{4})^{2}}$
Ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức sau đây là đủ
\[\frac{x^{3}}{(1-x^{4})^{2}} \geqslant \frac{9\sqrt{3}}{64}(6x^2-1).\]
Ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức sau đây là đủ
\[\frac{x^{3}}{(1-x^{4})^{2}} \geqslant \frac{9\sqrt{3}}{64}(6x^2-1).\]
Tại sao anh Huyện lại nghĩ ra cái này được ạ
$\boxed{\text{Nguyễn Trực-TT-Kim Bài secondary school}}$
Tại sao anh Huyện lại nghĩ ra cái này được ạ
cái này là phương phap tiếp tuyến.Nếu chưa học tới thì bn học tạm U,C,T tại đây:https://diendantoanh...chứng-minh-bdt/
Anh sẽ vẫn bên em dù bất cứ nơi đâu
Anh sẽ là hạt bụi bay theo gió
Anh sẽ là ngôi sao trên bầu trời phương Bắc
Anh không bao giờ dừng lại ở một nơi nào
Anh sẽ là ngọn gió thổi qua các ngọn cây
Em sẽ mãi mãi đợi anh chứ ??
will you wait for me forever
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh