Chủ đề này có 1 trả lời

[vietnamesegauss89]

a)CMR:không tồn tại 1 hàm song ánh sao cho:

b)a)CMR: tồn tại 1 hàm song ánh sao cho:

[pnt]

1) Chứng minh rằng không tồn tại song ánh f: http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f(\dfrac{n-1}{3}) n X
Rõ ràng g là song ánh.
Bằng cách đặt u=3m+1, v=3n+1, phương trình đầu bài trở thành g(u)g(v)=g(uv) u,v X
Giả sử g(4) không là số nguyên tố: g(4)=ab (a,b 2)
g là song ánh nên tồn tại c,d X sao cho a=g©, b=g(d) g(4)=g©g(d)=g(cd) 4=cd (vô lý). Vậy g(4) là số nguyên tố.
Hoàn toàn tương tự như vậy, ta cũng có g(25) là số nguyên tố.
Mà g(4)g(25)=g(100)=http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?g^2(10) \Rightarrow g(4)=g(25) (vô lý).
Tóm lại, không tồn tại song ánh f thõa mãn đề bài.


2) Chứng minh tồn tại song ánh f :http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?4f(\dfrac{n-1}{3})+1
Đièu kiện của f ở đầu bài trở thành g(mn)=g(n)g(m) n X
f tồn tại tồn tại song ánh g thõa điều kiện trên
Tôi chứng minh sơ qua tính chất sau:
* Có vô hạn số nguyên tố dạng 3n+1: nếu có hữu hạn số http://dientuvietnam...p_1,p_2,...,p_k thì xét a=http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?1+p_1p_2...p_k, khi đó http://dientuvietnam...etex.cgi?(a,p_i)=1.
Nếu tồn tại q P , q =3m+2 sao cho http://dientuvietnam...mimetex.cgi?a^3 1 (mod q) thì http://dientuvietnam...etex.cgi?a^{3m} 1 (mod q) ,mà http://dientuvietnam...ex.cgi?a^{3m 1} 1 (mod q) (định lý Ơle) a 1 (mod q) http://dientuvietnam...gi?p_1p_2...p_k q (vô lý). Từ đó http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a^3-1=(a-1)(a^2+a+1) phải có ước nguyên tố dạng 3m+1 khác http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p_i (mâu thuẫn giả thiết phản chứng ).
* Có vô hạn số nguyên tố dạng 3m+2 ,có vô hạn số nguyên tố dạng 4k+1 : nếu hữu hạn thì xét http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(p_1p_2..p_k)^2+1
* Có vô hạn số nguyên tố dạng 4k+3: nếu hữu hạn thì xét http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(p_1p_2...p_k)^2+2.
Xét A={p P|p chia 3 dư 1}
B={p^2| p P, p chia 3 dư 2}
C={p P|p chia 4 dư 1}
D={p^2|p P, p chia 4 dư 3}
Tồn tại 2 song ánh http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_m^{a_m}
với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p_1,..,p_k A, http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p_{k+1},...,p_m là các số nguyên tố chia 3 dư 2.
khi đó, xét http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?g(n)=g(p_1)^{a_1}g(p_2)^{a_2}...g(p_k)^{a_k}\sqrt{g((p_{k+1})^2)^{a_{k+1}}...g((p_m)^2)^{a_m}}
Từ đó, g là song ánh thõa mãn đề bài.