Chủ đề này có 1 trả lời

[Samsung White]

Cho $x,y$ dương thỏa mãn $x<y$ và $\frac{1+xy}{y-x} \leq \sqrt{3}.$
Tìm Min $A = \frac{(1+x^2)(1+y^2)}{x(x+y)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 25-02-2017 - 19:41

[phamngochung9a]

Cho $x,y$ dương thỏa mãn $x<y$ và $\frac{1+xy}{y-x} \leq \sqrt{3}.$
Tìm Min $A = \frac{(1+x^2)(1+y^2)}{x(x+y)}$

Từ đề bài, ta có: $1+xy\leq \sqrt{3}y-\sqrt{3}x\Leftrightarrow x\leq \frac{y\sqrt{3}-1}{y+\sqrt{3}}$

$\Rightarrow A\geq \frac{\left ( x+y \right )^{2}}{x\left ( x+y \right )}=1+\frac{y}{x}\geq 1+\frac{y\left ( y+\sqrt{3} \right )}{y\sqrt{3}-1}$

Xét hàm số $f(y)=\frac{y\left ( y+\sqrt{3} \right )}{y\sqrt{3}-1}$ trên $\left ( \frac{1}{\sqrt{3}};+\infty \right )$ có: $f'(x)=\frac{y^{2}\sqrt{3}-2y-\sqrt{3}}{\left ( y\sqrt{3}-1 \right )^{2}}=0\Rightarrow y=\sqrt{3}$

Từ bảng biến thiên, ta có: $f\left ( y \right )\geq f\left ( \sqrt{3} \right )= 3\Rightarrow A\geq 4$ 

Vậy $\min A= 4$ khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix} x=\frac{\sqrt{3}}{3} & \\ y=\sqrt{3} & \end{matrix}\right.$