Cho $a,b,c,d>0$ và $abcd=1$. Tìm Min của
$P=\frac{1}{(1+a)^2}+\frac{1}{(1+b)^2}+\frac{1}{(1+c)^2}+\frac{1}{(1+d)^2}$
Tìm Min của $P=\frac{1}{(1+a)^2}+\frac{1}{(1+b)^2}+\frac{1}{(1+c)^2}+\frac{1}{(1+d)^2}$
Bắt đầu bởi tienduc, 28-02-2017 - 21:32
#2
Đã gửi 28-02-2017 - 21:38
IHateMath
-
- Thành viên
-
- 299 Bài viết
Thượng sĩ
#3
Đã gửi 25-04-2021 - 09:49
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Cho $a,b,c,d>0$ và $abcd=1$. Tìm Min của
$P=\frac{1}{(1+a)^2}+\frac{1}{(1+b)^2}+\frac{1}{(1+c)^2}+\frac{1}{(1+d)^2}$
Đầu tiên ta chứng minh bổ đề: $\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}\geqslant \frac{1}{1+xy}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được: $\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}-\frac{1}{1+xy}=\frac{xy^3+x^3y-x^2y^2-2xy+1}{(1+x)^2(1+y)^2(1+xy)}\geqslant \frac{2x^2y^2-x^2y^2-2xy+1}{(1+x)^2(1+y)^2(1+xy)}=\frac{(xy-1)^2}{(1+x)^2(1+y)^2(1+xy)}\geqslant 0$
Áp dụng, ta được: $P\geqslant \frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+cd}=\frac{cd}{cd+abcd}+\frac{1}{1+cd}=\frac{cd}{1+cd}+\frac{1}{1+cd}=1$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=d=1$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
