Chủ đề này có 3 trả lời

[myduyen2792]

1) $A=\frac{x^{2}}{x+y}+\frac{y^{2}}{y+z}+\frac{z^{2}}{x+z}$ với $x>0, y>0, z>0$ và $\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=1$
2) Cho $x^{3}+y^{3}+3(x^{2}+y^{2})+4(x+y)+4=0$ và $xy>0$. Tìm max của biểu thức $M=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$
3) Cho $x,y,z$ dương thỏa mãn $x+y+z=\frac{5}{3}$. Chứng minh rằng $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}<\frac{1}{z}(1+\frac{1}{xy})$
4) Cho $x,y,z>0$, $x+y+z=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $C=(xyz)(x+y)(y+z)(x+z)$

[IHateMath]

1. $A\geq \frac{\sum{x} ^2}{2\sum{x}} = \frac{\sum{x}}{2} \geq \frac{\sum{\sqrt{xy}}}{2} = \frac{1}{2}$ (Cauchy-Schwarz). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=\frac{1}{3}$.

4. Ta lần lượt có (AM-GM):

$$\sqrt[3]{xyz}\leq \frac{x+y+z}{3}\Rightarrow xyz\leq\frac{1}{27},$$

$$\sqrt[3]{\prod{(x+y)}}\leq \frac{2(x+y+z)}{3}  \Rightarrow \prod{(x+y)}\leq \frac{8}{27}.$$

Vậy $C\leq \frac{8}{27^2}$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=\frac{1}{3}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi IHateMath: 28-02-2017 - 23:19

[viet9a14124869]

1,$\sum \frac{x^2}{x+y}\geq \frac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)}=\frac{x+y+z}{2}\geq \frac{\sum \sqrt{xy}}{2}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}$

2,Biến đổi về $(x+y+2)(x^2+y^2-xy+x+y+2)=0\Rightarrow x+y=-2\Leftrightarrow M=\frac{-2}{xy}\leq \frac{-8}{(x+y)^2}=-2\Leftrightarrow x=y=-1$

[viet9a14124869]

1. $A\geq \frac{\sum{x} ^2}{2\sum{x}} = \frac{\sum{x}}{2} \geq \frac{\sum{\sqrt{xy}}}{2} = \frac{1}{2}$ (Cauchy-Schwarz). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$.

4. Ta lần lượt có (AM-GM):

$$\sqrt[3]{xyz}\leq \frac{x+y+z}{3}\Rightarrow xyz\leq\frac{1}{27},$$

$$\sqrt[3]{\prod{(x+y)}}\leq \frac{2(x+y+z)}{3}  \Rightarrow \prod{(x+y)}\leq \frac{8}{27}.$$

Vậy $C\leq \frac{8}{27^2}$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=\frac{1}{3}$.

dấu = sai nè bạn ơi