Chủ đề này có 3 trả lời

[tienduc]

Cho $x,y,z$ là các số không âm phân biệt thỏa mãn $(z+x)(z+y)=1$. Chứng minh

$\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(y-z)^2}+\frac{1}{(z-x)^2}\geq 4$

 

[NHoang1608]

Đề sai rồi kìa bạn, phải là y-z là y+z , z-x là z+x

Solution: Đặt $y+z = a$, $z+x=b$ suy ra $ab=1$ $a,b > 0$

BĐT tương đương với : $ \frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}} \geq 4$

                                      $\leftrightarrow \frac{1}{a^{2}+b^{2}-2}+\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}} \geq 4$

                                      $\leftrightarrow (\frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}-2}}-\sqrt{a^{2}+b^{2}-2})^{2}\geq 0$ (1)

P/s: (1) có thể có được băng việc biến đổi rồi dùng AM-GM nhưng nhác thôi dùng máy tính phân tích hộ vậy

[victoranh]

Đề sai rồi kìa bạn, phải là y-z là y+z , z-x là z+x

Solution: Đặt $y+z = a$, $z+x=b$ suy ra $ab=1$ $a,b > 0$

BĐT tương đương với : $ \frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}} \geq 4$

                                      $\leftrightarrow \frac{1}{a^{2}+b^{2}-2}+\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}} \geq 4$

                                      $\leftrightarrow (\frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}-2}}-\sqrt{a^{2}+b^{2}-2})^{2}\geq 0$ (1)

P/s: (1) có thể có được băng việc biến đổi rồi dùng AM-GM nhưng nhác thôi dùng máy tính phân tích hộ vậy

y-z và z-x mà bạn, sao lại thành 1/a^2+1/b^2 vậy???

[NHoang1608]

Đề sai mà bạn phải là y+z và z+x

 

y-z và z-x mà bạn, sao lại thành 1/a^2+1/b^2 vậy??