Chủ đề này có 1 trả lời

[doremon123]

Cho a, b, c>0 thỏa mãn a+b+c=1

Tìm max: S=$\sum \frac{3a-1}{a^{2}-1}$

[NHoang1608]

Solutions:

Từ gt dễ dàng suy ra $a, b, c$ khác 1

Ta có: $S=\frac{3a-3}{a^{2}-1}+\frac{3b-3}{b^{2}-1}+\frac{3c-3}{c^{2}-1}+\frac{2}{a^{2}-1}+\frac{2}{b^{2}-1}+\frac{2}{c^{2}-1}$

            $=\frac{3}{a+1}+\frac{3}{b+1}+\frac{3}{c+1}+\frac{2}{a^{2}-1}+\frac{2}{b^{2}-1}+\frac{2}{c^{2}-1}$

            $=\frac{3}{a+1}+\frac{3}{b+1}+\frac{3}{c+1}+\frac{2}{(a-1)(a+1)}+\frac{2}{(b-1)(b+1)}+\frac{2}{(c-1)(c+1)}$

Ap dụng gt $a+b+c=1$ thì ta có ngay :

$S=\frac{3}{a+b+a+c}+\frac{3}{c+b+b+a}+\frac{3}{b+c+a+c}-\frac{2}{(a+c)(a+b+b+c)}-\frac{2}{(b+c)(a+b+a+c)}-\frac{2}{(b+a)(a+c+b+c)}$

Đặt $(a+b;b+c;c+a)=(x;y;z)$ khi đó $x+y+z=2$ và $S=\frac{3}{x+y}+\frac{3}{y+z}+\frac{3}{z+x}-\frac{2}{x(y+z)}-\frac{2}{y(x+z)}-\frac{2}{z(x+y)}$

Ta sẽ chứng minh $S\leq0$, Thật vậy ta sẽ có bđt tương đương sau:

  $\frac{3}{x+y}+\frac{3}{y+z}+\frac{3}{z+x}\leq\frac{2}{x(y+z)}+\frac{2}{y(x+z)}+\frac{2}{z(x+y)}$

  $\Leftrightarrow\frac{3}{x+y}+\frac{3}{y+z}+\frac{3}{x+z}\leq\frac{x+y+z}{x(y+z)}+\frac{x+y+z}{y(x+z)}+\frac{x+y+z}{z(x+y)}$

  $\Leftrightarrow\frac{3}{x+y}+\frac{3}{y+z}+\frac{3}{x+z}\leq\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}$

  $\Leftrightarrow\frac{2}{x+y}+\frac{2}{y+z}+\frac{2}{z+x}\leq\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ (1)

BĐT (1) luôn đúng do ta có bđt phụ sau$\frac{4}{x+y}\leq\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$

 Suy ra $S\leq0$ từ đó suy ra $Max S = 0$ 

DBXR khi $a=b=c=\frac{1}{3}$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 03-03-2017 - 20:44