Chủ đề này có 1 trả lời

[LoveMath1234]

Cho $a,b,c,d,e> 0:a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=5$

CMR: $\frac{a^2}{b+c+d}+\frac{b^2}{c+d+e}+\frac{c^2}{d+e+a}+\frac{d^2}{e+a+b}+\frac{e^2}{a+b+c}\geq \frac{5}{3}$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LoveMath1234: 03-03-2017 - 21:01

[NTMFlashNo1]

 

Cho $a,b,c,d,e> 0:a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=5$

CMR: $\frac{a^2}{b+c+d}+\frac{b^2}{c+d+e}+\frac{c^2}{d+e+a}+\frac{d^2}{e+a+b}+\frac{e^2}{a+b+c}\geq \frac{5}{3}$

 

Áp dụng bất đẳng thức $Chebyshev$ ta có:

$\sum \frac{a^{2}}{b+c+d}\geq \frac{1}{5}(\sum a^{2})(\sum \frac{1}{b+c+d})=\sum \frac{1}{b+c+d}$

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ có:

$\sum \frac{1}{b+c+d}\geq \frac{5^{2}}{3(\sum a)}$

Mà,

$\sum a\leq \sqrt{(1+1+1+1+1)(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2})}=5$

Từ đó có $ĐPCM$.