Cho f là 1 đa thức hệ số nguyên thỏa $1\leq f(n)\leq 11$ với mọi $n\in \left \{ 0,1,2,...,11,12 \right \}$
CMR $f(1)=f(2)=...=f(12)$
Cho f là 1 đa thức hệ số nguyên thỏa $1\leq f(n)\leq 11$ với mọi $n\in \left \{ 0,1,2,...,11,12 \right \}$
CMR $f(1)=f(2)=...=f(12)$
Tôi không lười biếng, tôi đơn giản chỉ: "Tiết kiệm năng lượng"
---Oreki Houtarou---
Cho f là 1 đa thức hệ số nguyên thỏa $1\leq f(n)\leq 11$ với mọi $n\in \left \{ 0,1,2,...,11,12 \right \}$
CMR $f(1)=f(2)=...=f(12)$
Làm kiểu chân tay thử!
Vì $f(12)-f(1) \vdots (12-1)=11$. Suy ra $f(12)=f(1).$
Và $f(12)-f(2k-1)= f(1)-f(2k-1) \vdots lcm(13-2k,2k-2)=2(k-1)(13-2k) >11 \forall k =\overline{2,6}.$
(Nhận xét: vì $13-2k =11+(2-2k)$ nên $gcd(13-2k,2k-2)=gcd(11,2k-2)=gcd(11,k-1)=1 \forall k =\overline{2,6}.$
Suy ra $$ f(2k-1)= f(12)\, \forall k =\overline{1,6}.$$
Ta có $f(12)-f(2k)= f(1)-f(2k) \vdots lcm(12-2k,2k-1)=(2k-1)(12-2k) \ge 11 \forall k =\overline{1,5}.$
(Nhận xét: vì $12-2k =11+(1-2k)$ nên $gcd(12-2k,2k-1)=gcd(11,2k-1)=gcd(11,2k-1)=1 \forall k =\overline{2,5}.$
Suy ra $$ f(2k)= f(12)\, \forall k =\overline{1,5}.$$
Suy ra ĐPCM.
Đời người là một hành trình...
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh