9 replies to this topic

[lanh24042002]

cho x,y,z thuoc R va x^2+y^2+z^2 =2. CMR: x+y+z$\leq$ xyz+2

[NHoang1608]

Từ giả thiết  suy ra $2=x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq y^{2}+z^{2} \geq 2\left |yz \right |\geq 2yz \Rightarrow yz \leq 1$

Ta có: $x+y+z-xyz=x(1-yz)+(y+z) \leq \sqrt{(x^{2}+(y+z)^{2})(1+(1-yz)^{2}) }=\sqrt{(2+2yz)(2-2yz+y^{2}z^{2})}=\sqrt{4-4yz+4yz+2y^{2}z^{2}+4yz-4y^{2}z^{2}+2y^{3}z^{3}}=\sqrt{4+2y^{3}z^{3}-2y^{2}z^{2}}$

Mặt khác vì $yz \leq 1$ nên $y^{3}z^{3}\leq y^{2}z^{2}$ $\Rightarrow \sqrt{4+2y^{3}z^{3}-2y^{2}z^{2}}\leq \sqrt{4}=2$.

( Áp dụng liên tiếp các bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$, $AM-GM$) . Đẳng thức xảy ra khi 1 số bằng $0$ 2 số bằng $1$

Edited by NHoang1608, 13-03-2017 - 12:17.

[lanh24042002]

Từ giả thiết  suy ra $2=x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq y^{2}+z^{2} \geq 2\left |yz \right |\geq 2yz \Rightarrow yz \leq 1$

Ta có: $x+y+z-xyz=x(1-yz)+(y+z) \leq \sqrt{(x^{2}+(y+z)^{2})(1+(1-yz)^{2}) }=\sqrt{(2+2yz)(2-2yz+y^{2}z^{2})}\leq \frac{2+2yz+2-2yz+y^{2}z^{2}}{2}=\frac{4+y^{2}z^{2}}{2}\leq \frac{4+yz}{2} \leq 2$ ( Áp dụng liên tiếp các bất đẳng thức Cauchy-Schwarzt, AM-GM) . Đẳng thức xảy ra khi 1 số bằng $0$ 2 số bằng $1$

nhưng x,y,z ko >0=> phải xét các trường hợp ms đúng:

+) x,y,z <0

+)2 âm, 1 dương

+) 2 dương , 1 âm

+) x,y,z>0

[NHoang1608]

nhưng x,y,z ko >0=> phải xét các trường hợp ms đúng:

+) x,y,z <0

+)2 âm, 1 dương

+) 2 dương , 1 âm

+) x,y,z>0

không cần bạn ạ. Mình sử dụng Cauchy-Schwarzt và AM-GM đều cho các biểu thức không âm cả. Nên bạn xem lại kĩ lời giải của mình đi

P/s: Mở rộng: Với cách giải dùng C-S trên thì ta có thể tìm được $Min=-2$ của biểu thức $x+y+z-xyz$

Edited by NHoang1608, 10-03-2017 - 21:38.

[DauKeo]

x,y,z dương ko ạ, ko là phải thử nhiều TH

[DauKeo]

Từ giả thiết  suy ra $2=x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq y^{2}+z^{2} \geq 2\left |yz \right |\geq 2yz \Rightarrow yz \leq 1$

Ta có: $x+y+z-xyz=x(1-yz)+(y+z) \leq \sqrt{(x^{2}+(y+z)^{2})(1+(1-yz)^{2}) }=\sqrt{(2+2yz)(2-2yz+y^{2}z^{2})}\leq \frac{2+2yz+2-2yz+y^{2}z^{2}}{2}=\frac{4+y^{2}z^{2}}{2}\leq \frac{4+yz}{2} \leq 2$ ( Áp dụng liên tiếp các bất đẳng thức Cauchy-Schwarzt, AM-GM) . Đẳng thức xảy ra khi 1 số bằng $0$ 2 số bằng $1$

bạn chỉ rõ dương dc ko ạ

[NHoang1608]

Từ giả thiết  suy ra $2=x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq y^{2}+z^{2} \geq 2\left |yz \right |\geq 2yz \Rightarrow yz \leq 1$

Ta có: $x+y+z-xyz=x(1-yz)+(y+z) \leq \sqrt{(x^{2}+(y+z)^{2})(1+(1-yz)^{2}) }$=$\sqrt{(2+2yz)(2-2yz+y^{2}z^{2})}\leq \frac{2+2yz+2-2yz+y^{2}z^{2}}{2}=\frac{4+y^{2}z^{2}}{2}\leq \frac{4+yz}{2} \leq 2$ ( Áp dụng liên tiếp các bất đẳng thức Cauchy-Schwarzt, AM-GM) . Đẳng thức xảy ra khi 1 số bằng $0$ 2 số bằng $1$

Đoạn tô đỏ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho mọi số thực nên không xét dương

Đoạn tô xanh sử dụng AM-GM cho 2 số không âm $(x^{2}+(y+z)^{2}),(1+(1-yz)^{2})$ 

Đoạn tô xám sử dụng bất đẳng thức $z^{2}+y^{2}\geq 2yz$ không cần xét số dương

Edited by NHoang1608, 10-03-2017 - 21:56.

[TRAN PHAN THAI ANH]

co tri tuyet doi la duoc roi may ban , khong can xet am hay duong vi tri tuyet doi luon lon hon bang so am

[lanh24042002]

tại sao $\frac{4+yz}{2}\leq 2$

[NHoang1608]

tại sao $\frac{4+yz}{2}\leq 2$

Minh đã fix lời giải rồi nhé. Lời giải hôm trước không đúng do đánh giá $AM-GM$ quá mạnh nên lần này biến đổi tương đương là được.