cho x,y,z thuoc R va x^2+y^2+z^2 =2. CMR: x+y+z$\leq$ xyz+2
#1
Đã gửi 10-03-2017 - 20:51
#2
Đã gửi 10-03-2017 - 21:20
Từ giả thiết suy ra $2=x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq y^{2}+z^{2} \geq 2\left |yz \right |\geq 2yz \Rightarrow yz \leq 1$
Ta có: $x+y+z-xyz=x(1-yz)+(y+z) \leq \sqrt{(x^{2}+(y+z)^{2})(1+(1-yz)^{2}) }=\sqrt{(2+2yz)(2-2yz+y^{2}z^{2})}=\sqrt{4-4yz+4yz+2y^{2}z^{2}+4yz-4y^{2}z^{2}+2y^{3}z^{3}}=\sqrt{4+2y^{3}z^{3}-2y^{2}z^{2}}$
Mặt khác vì $yz \leq 1$ nên $y^{3}z^{3}\leq y^{2}z^{2}$ $\Rightarrow \sqrt{4+2y^{3}z^{3}-2y^{2}z^{2}}\leq \sqrt{4}=2$.
( Áp dụng liên tiếp các bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$, $AM-GM$) . Đẳng thức xảy ra khi 1 số bằng $0$ 2 số bằng $1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 13-03-2017 - 12:17
- Zeref, Kagome, viet9a14124869 và 1 người khác yêu thích
The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.
----- Michelangelo----
#3
Đã gửi 10-03-2017 - 21:26
Từ giả thiết suy ra $2=x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq y^{2}+z^{2} \geq 2\left |yz \right |\geq 2yz \Rightarrow yz \leq 1$
Ta có: $x+y+z-xyz=x(1-yz)+(y+z) \leq \sqrt{(x^{2}+(y+z)^{2})(1+(1-yz)^{2}) }=\sqrt{(2+2yz)(2-2yz+y^{2}z^{2})}\leq \frac{2+2yz+2-2yz+y^{2}z^{2}}{2}=\frac{4+y^{2}z^{2}}{2}\leq \frac{4+yz}{2} \leq 2$ ( Áp dụng liên tiếp các bất đẳng thức Cauchy-Schwarzt, AM-GM) . Đẳng thức xảy ra khi 1 số bằng $0$ 2 số bằng $1$
nhưng x,y,z ko >0=> phải xét các trường hợp ms đúng:
+) x,y,z <0
+)2 âm, 1 dương
+) 2 dương , 1 âm
+) x,y,z>0
#4
Đã gửi 10-03-2017 - 21:36
nhưng x,y,z ko >0=> phải xét các trường hợp ms đúng:
+) x,y,z <0
+)2 âm, 1 dương
+) 2 dương , 1 âm
+) x,y,z>0
không cần bạn ạ. Mình sử dụng Cauchy-Schwarzt và AM-GM đều cho các biểu thức không âm cả. Nên bạn xem lại kĩ lời giải của mình đi
P/s: Mở rộng: Với cách giải dùng C-S trên thì ta có thể tìm được $Min=-2$ của biểu thức $x+y+z-xyz$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 10-03-2017 - 21:38
- DauKeo yêu thích
The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.
----- Michelangelo----
#5
Đã gửi 10-03-2017 - 21:43
x,y,z dương ko ạ, ko là phải thử nhiều TH
#6
Đã gửi 10-03-2017 - 21:45
Từ giả thiết suy ra $2=x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq y^{2}+z^{2} \geq 2\left |yz \right |\geq 2yz \Rightarrow yz \leq 1$
Ta có: $x+y+z-xyz=x(1-yz)+(y+z) \leq \sqrt{(x^{2}+(y+z)^{2})(1+(1-yz)^{2}) }=\sqrt{(2+2yz)(2-2yz+y^{2}z^{2})}\leq \frac{2+2yz+2-2yz+y^{2}z^{2}}{2}=\frac{4+y^{2}z^{2}}{2}\leq \frac{4+yz}{2} \leq 2$ ( Áp dụng liên tiếp các bất đẳng thức Cauchy-Schwarzt, AM-GM) . Đẳng thức xảy ra khi 1 số bằng $0$ 2 số bằng $1$
bạn chỉ rõ dương dc ko ạ
#7
Đã gửi 10-03-2017 - 21:54
Từ giả thiết suy ra $2=x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq y^{2}+z^{2} \geq 2\left |yz \right |\geq 2yz \Rightarrow yz \leq 1$
Ta có: $x+y+z-xyz=x(1-yz)+(y+z) \leq \sqrt{(x^{2}+(y+z)^{2})(1+(1-yz)^{2}) }$=$\sqrt{(2+2yz)(2-2yz+y^{2}z^{2})}\leq \frac{2+2yz+2-2yz+y^{2}z^{2}}{2}=\frac{4+y^{2}z^{2}}{2}\leq \frac{4+yz}{2} \leq 2$ ( Áp dụng liên tiếp các bất đẳng thức Cauchy-Schwarzt, AM-GM) . Đẳng thức xảy ra khi 1 số bằng $0$ 2 số bằng $1$
Đoạn tô đỏ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho mọi số thực nên không xét dương
Đoạn tô xanh sử dụng AM-GM cho 2 số không âm $(x^{2}+(y+z)^{2}),(1+(1-yz)^{2})$
Đoạn tô xám sử dụng bất đẳng thức $z^{2}+y^{2}\geq 2yz$ không cần xét số dương
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 10-03-2017 - 21:56
- viet9a14124869 yêu thích
The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.
----- Michelangelo----
#8
Đã gửi 10-03-2017 - 22:18
co tri tuyet doi la duoc roi may ban , khong can xet am hay duong vi tri tuyet doi luon lon hon bang so am
#9
Đã gửi 13-03-2017 - 05:12
tại sao $\frac{4+yz}{2}\leq 2$
#10
Đã gửi 13-03-2017 - 12:19
tại sao $\frac{4+yz}{2}\leq 2$
Minh đã fix lời giải rồi nhé. Lời giải hôm trước không đúng do đánh giá $AM-GM$ quá mạnh nên lần này biến đổi tương đương là được.
- viet9a14124869 yêu thích
The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.
----- Michelangelo----
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh